总和不能被 K 整除的最长可能子数组的计数

在一个整数数组中，找到一个最长子数组，使得该子数组的元素总和不能被给定的整数K整除。本题旨在设计一种算法来解决该问题。

解法思路

改进的前缀和算法可以用于解决此类问题。对于给定的整数数组，我们可以考虑创建一个新数组prefixSum。prefixSum[i]表示前 i 个元素的总和。如果我们能够找到两个下标 i 和 j 使得(prefixSum[j]−prefixSum[i−1])mod K≠0并且 j−i 最大，那么最长的可以被K整除的元素子数组[i,j] 的长度就是 $ j - i $。

我们注意到，上述条件可以重写为(prefixSum[j]mod K) != (prefixSum[i-1]mod K) 。如果对于某个 i，在之前的位置中我们已经存储了一个值 (prefixSum[x]mod K)==prefixSum[i−1]mod K，那么我们知道子数组 (x+1,…,i) 的总和是可以被 K 整除的。此时，如果在以后找到的下标 j 的位置我们再次找到了 (prefixSum[y]mod K)==prefixSum[i−1]mod K，那么我们就可以得到一个长度为y−x 的子数组，该子数组满足其总和不会被 K整除。

代码示例

使用 Python 语言进行实现，代码如下：

def subarraysDivByK(A, K):
    count = [0] * K
    count[0] = 1
    prefix_sum = 0
    res = 0
    for a in A:
        prefix_sum = (prefix_sum + a) % K
        res += count[prefix_sum]
        count[prefix_sum] += 1
    return res

时间复杂度: $O(N)$。其中 $N$ 是数组 $A$ 的长度。

此外，我们可以使用哈希表替代原来的数组来实现上述算法，代码如下：

def subarraysDivByK(A, K):
    count = {}
    count[0] = 1
    prefix_sum = 0
    res = 0
    for a in A:
        prefix_sum = (prefix_sum + a) % K
        res += count.get(prefix_sum, 0)
        count[prefix_sum] = count.get(prefix_sum, 0) + 1
    return res

总结

本文介绍了计算总和不能被 K 整除的最长可能子数组的计数的解法思路，这是使用改进的前缀和算法实现的。本题是 LeetCode 上的原题，是面试中常见的一类问题。