统计递增三元组的数量

给定一个整数数组，统计其中递增的三元组的数量。

使用暴力法的时间复杂度为 $O(n^3)$，但我们可以优化到 $O(n^2)$。

对于每个元素 $i$，我们可以找到其开头和结尾的递增序列，再计算递增序列两端的元素中每一个元素左边的小于它的数的个数和右边大于它的数的个数，那么此元素对答案的贡献就是这两个数的乘积。

最后将每个元素的贡献相加即可得到最终结果。

def count_triplets(arr):
    n = len(arr)
    cnt = 0
    
    for i in range(n):
        left = []
        right = []
        for j in range(i):
            if arr[j] < arr[i]:
                left.append((arr[j], j))
        
        for j in range(i+1, n):
            if arr[j] > arr[i]:
                right.append((arr[j], j))
        
        for num, idx in left:
            smaller_cnt = len([x for x, _ in left if x < num])
            larger_cnt = len([x for x, _ in right if x > num])
            cnt += smaller_cnt * larger_cnt
    
    return cnt

这个算法的时间复杂度是 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

在最坏情况下，即所有元素都满足递增关系，时间复杂度为 $O(n^2)$，空间复杂度为 $O(n)$。

因此，我们可以使用这个算法来求解包含大量元素的数组中递增三元组的数量。