数组的两个连续子数组之和的最大乘积

问题描述

给定一个整数数组，找到两个连续子数组，使两个子数组的元素之和最大，并且这两个子数组的乘积也最大。返回乘积。

示例

输入: [2,3,-2,4]

输出: 6

解释: 子数组为 [2,3] 和 [4]，其乘积为 6。

解题思路

首先思考如何求两个连续子数组之和的最大值。这个可以使用动态规划的思想。具体做法是用两个 dp 数组，一个记录到目前为止最大的子数组和，一个记录到目前为止最小的子数组和。每次更新时，要同时更新这两个 dp 数组。

假设要求的两个子数组为 A 和 B，它们的长度分别为 lA 和 lB。我们先在 A 和 B 中选取一个子数组，然后在剩下的数组中选取另一个子数组。假设我们选中了 A，那么剩下数组中最大子数组和是 la，最小子数组和是 lb。同理，如果选中了 B，则剩下数组中最大子数组和是 ra，最小子数组和是 rb。则答案就是 max((sumA - la) * (sumB - rb), (sumA - lb) *(sumB - ra))。

代码实现

class Solution:
    def maxProduct(self, nums: List[int]) -> int:
        def maxSubArray(nums: List[int]) -> int:
            max_sum = nums[0]
            min_sum = nums[0]
            ans = nums[0]
            for i in range(1, len(nums)):
                mx, mn = max_sum, min_sum
                max_sum = max(mx+nums[i], nums[i], mn+nums[i])
                min_sum = min(mx+nums[i], nums[i], mn+nums[i])
                ans = max(ans, max_sum)
            return ans

        a, b = maxSubArray(nums), maxSubArray(nums[::-1])
        nums.reverse()
        for i in range(1, len(nums)):
            nums[i] *= nums[i-1]
        return max(a * maxSubArray(nums), b * maxSubArray(nums[::-1]))

时间复杂度

假设数组长度为 n，则计算子数组和的时间复杂度为 O(n)。一次遍历中，需要计算两个子数组的最大值和最小值，时间复杂度均为 O(n)，所以总的时间复杂度为 O(n)。

空间复杂度

使用了常数个变量，所以空间复杂度为 O(1)。