从给定数组的前后删除的最小数量，以使 0 和 1 的计数相等

给定一个仅由 0 和 1 组成的数组，我们需要从数组的前面或后面删除最少的元素，以使得剩下的元素中 0 和 1 的数量相等。本文将介绍如何通过动态规划解决这一问题。

动态规划算法

设数组为 $a$，长度为 $n$。

定义 $dp[i][j]$ 表示在 $[0,i]$ 区间内，删除 $j$ 个数，使得剩下的数中 0 和 1 的数量相等，所需要删除的最少的数字数。

状态转移方程为：

$$ dp[i][j] = \begin{cases} \min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+1) & a_i=0 \ \min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]-1) & a_i=1 \end{cases} $$

其中，当 $a_i=0$ 时，如果将 $a_i$ 删除，则需要在剩下的 $n-i$ 个数字中删除一个 1，因此 $dp[i][j]$ 可以从 $dp[i-1][j]$ 或 $dp[i-1][j-1]+1$ 转移而来；当 $a_i=1$ 时，如果将 $a_i$ 删除，则需要在剩下的 $n-i$ 个数字中删除一个 0，因此 $dp[i][j]$ 可以从 $dp[i-1][j]$ 或 $dp[i-1][j-1]-1$ 转移而来。

当 $j=0$ 时，由于不能删除任何数字，因此 $dp[i][0]=0$；当 $j>\frac{n}{2}$ 时，我们一定可以通过删除剩下的数字中数量更多的数来使得剩下的数中 0 和 1 的数量相等，因此 $dp[i][j]=\infty$。

最终的答案为：

$$ \min\limits_{0 \le j \le \frac{n}{2}} dp[n][j] \times 2 $$

因为删除的数字一定是成对出现的，所以需要将 $dp[n][j]$ 乘以 2。

以下是该算法的 Python 代码片段：

def minDeletions(a):
    n = len(a)
    dp = [[float('inf')] * (n//2+1) for _ in range(n+1)]
    for i in range(n+1):
        dp[i][0] = 0
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n//2+1):
            if a[i-1] == 0:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]+1)
            else:
                dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][j-1]-1)
    ans = float('inf')
    for j in range(n//2+1):
        ans = min(ans, dp[n][j])
    return ans * 2

总结

本文介绍了使用动态规划解决从给定数组的前后删除的最小数量，以使 0 和 1 的计数相等的问题。该算法的时间复杂度为 $O(n^2)$，其中 $n$ 为数组的长度。