重新排列数组以最大化数组元素及其索引的GCD之和

介绍

本文讨论一道LeetCode上的中等难度题目：重新排列数组以最大化数组元素及其索引的GCD之和

题目的描述如下：

给你一个长度为n的整数数组nums。重新排列nums得到一个新数组order（下标从0开始计数）。

比方说，nums=[0,1,2,3]可以得到下列24个不同的新数组：

[0,1,2,3]，[0,1,3,2]，[0,2,1,3]，[0,2,3,1]，[0,3,1,2]，[0,3,2,1]， [1,0,2,3]，[1,0,3,2]，[1,2,0,3]，[1,2,3,0]，[1,3,0,2]，[1,3,2,0]， [2,0,1,3]，[2,0,3,1]，[2,1,0,3]，[2,1,3,0]，[2,3,0,1]，[2,3,1,0]， [3,0,1,2]，[3,0,2,1]，[3,1,0,2]，[3,1,2,0]，[3,2,0,1]，[3,2,1,0]。

请你返回重新排列nums后，结果数组order最大的可能总和。答案保证在32位有符号整数范围内。

思路

题目中需要计算GCD之和，可以考虑使用容斥原理。

我们可以枚举每个数i是多少个数的公约数，注意不能算上自己，设为cnt[i]。

假设i是k个数的公约数，它们分别为$a_1,a_2,...,a_k$，它们在原数组nums中的下标为$idx_1,idx_2,...,idx_k$。

对于一个公约数为i的数i来说，我们需要在新的数组order中将这k个数$a_1,a_2,...,a_k$排列，即确定它们在数组中的位置。在确定它们的位置后，它们在order中的极差就是i。

设一个数组f[i]表示公约数为i的数在order中的极差之和，则f[i]=i*cnt[i]-sigma{j=1 to k}(idx_j)，其中sigma{j=1 to k}(idx_j)表示这些数在nums数组中的下标之和。

使用容斥原理，枚举1到数组中最大数maxNum的公约数，用所有公约数的f[i]减去所有它的倍数的f[i]，得到的就是新数组order的极差之和。

此时问题就很简单了，我们只需要把nums数组从大到小排序，然后依次求出order数组的每个数即可。

具体操作可见代码。

代码

class Solution:
    def maxSumAfterPartitioning(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        # 求出每个数的cnt，即它是多少个数的公约数（不算自己）
        cnt = [0] * (max(nums) + 1)
        for i in range(1, max(nums) + 1):
            for j in range(i*2, max(nums)+1, i):
                cnt[i] -= cnt[j]
            cnt[i] += n - cnt[i] - 1
        
        # 求出f[i]
        f = [0] * (max(nums) + 1)
        for i in range(1, max(nums) + 1):
            for j in range(i, max(nums) + 1, i):
                f[i] += nums.index(j) - (i-1)*k
        ans = 0
        for i in range(1, max(nums) + 1):
            tmp = f[i]
            j = i * 2
            while j <= max(nums):
                tmp -= f[j]
                j += i
            ans += cnt[i] * tmp
        return ans

对于Python的代码，我们可以使用Markdown的代码块语法，将代码片段加入的标记中，即python ...```。