在大小为K的数组的N次交换中，项返回到其初始位置的方式的数量

在进行数组的交换操作时，我们可能会关注某一项在交换后是否会回到它的初始位置。这个问题可以进一步转化为：在大小为K的数组的N次交换中，有多少种方式使得某一项（下标为i）能够回到它的初始位置。

这个问题可以通过组合数学来解决。假设N次交换能够使得某一项回到它的初始位置，那么必然有以下两个条件同时成立：

1. i必须在经过偶数次交换后才能回到初始位置。
2. 经过偶数次的交换后，数组中i上面的元素和i下面的元素的数量必须相等。

基于这两个条件，我们可以使用计数的方法来求解。具体来说，假设有n个元素在i上面，m个元素在i下面，那么i回到初始位置的方式数可以表示为：

$$ \frac{1}{2}(N-1)! \cdot \frac{1}{2^{n+m}}\binom{K-1}{n}\binom{K-n-1}{m} $$

上式中的前半部分表示对剩余的N-1次交换进行任意排列，后半部分表示对于i上面的n个元素和i下面的m个元素，它们在剩余的K-1个位置中进行组合。

接下来以Python代码的形式实现这个计算过程。

from math import factorial
from typing import List

def ways_to_return_to_init_pos(K: int, N: int, i: int) -> int:
    """计算某一项回到其初始位置的方式数"""
    # 计算i上面和i下面的元素个数
    n, m = i, K - i - 1
    # 判断是否存在偶数次交换能使i返回初始位置
    if N % 2 == 1 or n != m:
        return 0
    # 计算方式数
    res = factorial(N-1) // 2
    res *= 2**(-(n+m))
    res *= binom(K-1, n) * binom(K-n-1, m)
    return res % (10**9+7)

def binom(n: int, k: int) -> int:
    """计算组合数n choose k"""
    if k > n // 2:
        k = n - k
    res = 1
    for i in range(k):
        res *= (n-i)
        res //= (i+1)
    return res

以上代码中，我们首先计算了i上面和i下面元素的数量n和m，然后判断是否存在偶数次交换能使i返回初始位置，最后使用组合数公式计算方式数。注意，由于计算中使用了大量乘法和除法，我们需要使用Python中的整除和模运算保证计算结果的精度。

通过以上代码，我们就可以快速地计算在大小为K的数组的N次交换中，某一项返回到它的初始位置的方式数了。