对的绝对差的最小和最大和

在算法竞赛中，对于一组数，经常需要求解其两两之间的差的绝对值的和，即对于给定的序列$a_1,a_2,a_3,……,a_n$，需要求解表达式$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n|a_i-a_j|$的值。

本题需要求解的是，对于给定的序列$a_1,a_2,a_3,……,a_n$，需要求解表达式$\max\limits_{x=1}^n\min\limits_{y=1}^n|a_x-a_y|$和$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n|a_i-a_j|$。

思路

对于求解$\max\limits_{x=1}^n\min\limits_{y=1}^n|a_x-a_y|$，可以通过二分查找的方式进行求解。具体地，对于二分的中间值mid，判断序列中是否有一对数的差的绝对值大于mid，如果没有，则将mid减一继续检查。

对于求解$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n|a_i-a_j|$，可以将其转化为$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n(|a_i-a_j|+|a_j-a_i|)$的形式，即$\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=i+1}^n2|a_i-a_j|$，再用双重循环计算即可。

代码实现

def min_max_sum(a: List[int]) -> Tuple[int, int]:
    n = len(a)
    start, end = 0, max(a) - min(a)
    while start < end:
        mid = (start + end) // 2
        if not any(abs(a[i] - a[j]) > mid for i in range(n) for j in range(n)):
            end = mid
        else:
            start = mid + 1
    min_sum = 0
    for i in range(n):
        for j in range(i + 1, n):
            min_sum += abs(a[i] - a[j])
    max_sum = max(abs(a[i] - a[j]) for i in range(n) for j in range(n))
    return min_sum, max_sum

复杂度分析

时间复杂度：$\mathcal{O}(n^2\log W)$，其中$W$为$a$数组中的最大值和最小值之差。

空间复杂度：$\mathcal{O}(1)$。

总结

该问题的解法比较直观，但是需要仔细思考推导出对应的解法。需要注意的是，在计算$\max\limits_{x=1}^n\min\limits_{y=1}^n|a_x-a_y|$时，需要用到二分查找，此时需要判断序列中是否有一对数的差的绝对值大于mid这一点。