字符串的非空序列的计数

计算字符串中的非空子序列的个数是一种常见的问题。一个字符串的子序列是指保留原字符串中的字符顺序，在不改变字符位置的情况下可以去除任意数量的字符而获得的字符串。

例如，对于字符串 "abc"，它的非空子序列有 "a"、"b"、"c"、"ab"、"ac"、"bc"、"abc"。因此，它的非空子序列的数量是 $2^3 - 1 = 7$ 个（其中的 $-1$ 是因为空字符串不是非空子序列）。

以下是计算字符串的非空子序列的数量的一个简单的算法：

def count_subsequences(s):
    n = len(s)
    count = 0
    for L in range(1, n+1):
        for i in range(n-L+1):
            j = i + L - 1
            substr = s[i:j+1]
            if substr != "":
                count += 1
    return count

该算法的时间复杂度为 $O(n^3)$，其中 $n$ 是字符串的长度。

更高效的算法可以使用动态规划来解决。其中的关键在于寻找状态转移方程。

设 $dp[i]$ 表示以第 $i$ 个字符为结尾的子序列的数量。则有：

$$ dp[i] = 2 \times dp[i-1] - dp[last[s[i]]-1] $$

其中 $last[c]$ 表示字符 $c$ 在字符串中最后一次出现的位置，初始时可以将其全部初始化为 $-1$。

这个转移方程的含义是，以第 $i-1$ 个字符为结尾的所有子序列都可以延续到以第 $i$ 个字符为结尾。但是，如果存在以 $last[s[i]]$ 为结尾的子序列，那么这些子序列会重复计算。我们要剔除这些重复计算的子序列，因此要减去它们的数量。

最终的答案是 $dp[1] + dp[2] + \cdots + dp[n]$，因此不需要单独再次遍历字符串计算所有长度的子序列的数量。

下面是使用动态规划计算字符串的非空子序列的数量的 Python 代码：

def count_subsequences(s):
    n = len(s)
    last = [-1] * 256
    dp = [0] * (n+1)
    dp[0] = 1
    for i in range(1, n+1):
        dp[i] = 2 * dp[i-1]
        if last[ord(s[i-1])] != -1:
            dp[i] -= dp[last[ord(s[i-1])]-1]
        last[ord(s[i-1])] = i-1
    return dp[n] - 1

该算法的时间复杂度为 $O(n)$，其中 $n$ 是字符串的长度。