可以与给定人员组成的最大团队数

简介

在团队合作的环境中，如何将人员组成一个高效的团队， 是一个很重要的问题。在实际应用中，可能会需要知道在一组给定的人员中，最多可以组成几个团队， 这就是本文要介绍的问题：可以与给定人员组成的最大团队数。

问题描述

输入一个人员列表，每个人员有自己的技能列表和团队角色， 问最多可以组成几个团队。

解决方案

本问题可以看作图论问题中的最大独立集问题(MIS)。将每个人视为节点，节点之间存在边当且仅当两个人之间有交集的技能。这样，对于任意一个团队， 团队内的成员两两之间都不存在边， 因为他们之间的交集肯定非空。 因此，解决本问题就转化为求图中最大独立集的大小。

最大独立集问题是一个NP难问题，因此需要使用一些算法进行求解。以下列举几种算法：

• 贪心法
  基于节点度数排序，每次选取度数最小的节点加入独立集中。
  时间复杂度为 $O(n^2)$

• 基于色数的算法
  对于一个 $X$ 非反链，我们将 $X$ 中的所有元素染成同一个颜色（染成不同颜色就不能是独立集了）， 当 $X$ 为链时，有以下染色法则：

  

  时间复杂度为 $O(1.27^n)$。

• Bron–Kerbosch算法
  计算所有团的算法，然后选最大的团。
  时间复杂度为 $O(3^{n/3})$。

结论

本问题可以转化为最大独立集(MIS)问题，可以用贪心法、基于色数的算法、Bron–Kerbosch算法等算法进行求解。由于最大独立集问题是NP难问题，因此不能使用穷举法进行求解。

参考资料

• 最大独立集
• 最大独立集及求解算法
• 最大独立集算法详解