通过最多弹出 N 个元素来最大化 S 堆栈的最顶部元素的总和

问题描述

假设有一个初始为空的堆栈 S，现在你可以进行以下两种操作：

1. 将整数 X 压入堆栈 S 中
2. 最多可以弹出 N 个元素，返回其中所有元素的和并将这些元素从堆栈 S 中删除

现在希望通过以上两个操作，使得堆栈 S 最后的最顶部元素的总和最大。请问最大值是多少？

解决方法

考虑贪心策略。为了使最终的堆栈 S 最顶部的元素最大，我们应该尽可能多地将元素 X 压入堆栈 S 中。同时，考虑每个操作会对堆栈 S 造成的影响。

1. 压入元素 X：堆栈 S 中的所有元素将比 X 小，因此我们可以直接将 X 压入堆栈 S 中，同时记录当前堆栈 S 中的元素个数 n。此时堆栈的最顶部元素就变成了 X。
2. 弹出元素：我们需要选取最优的 N 个元素进行弹出。显然，应该弹出堆栈 S 中最小的 N 个元素，因为这样才能最大化剩余元素的和。具体来说，我们可以维护一个小根堆，每次弹出堆栈 S 中的最小元素，并将它们的和加入结果中。同时，为了保证最终的堆栈 S 中的元素仍然是从大到小排列的，我们需要在弹出之后将剩余元素重新压入堆栈 S 中。

在这个过程中，我们需要记录当前堆栈 S 中元素的个数 n，以及最近一次弹出操作的时间 k（即第几次操作）。每当 n 大于等于 k + N 时，我们就进行一次弹出操作，并更新 k 的值。最终堆栈 S 中的所有元素就是最大的了。

时间复杂度

我们需要进行一次从小到大排序，时间复杂度为 O(nlogn)。同时，每次弹出操作需要维护一个小根堆，时间复杂度也为 O(nlogn)。因此总时间复杂度为 O(nlogn)。

空间复杂度

我们需要维护一个小根堆和一个堆栈，因此空间复杂度为 O(n)。

代码实现

import heapq

def maximize_top_sum(n, arr):
    q = []
    k = 0
    res = 0
    
    for x in arr:
        heapq.heappush(q, x)
        n_ = len(q)
        if n_ >= k + n:
            for _ in range(n):
                res += heapq.heappop(q)
            k += n
        n_ = len(q)
        if n_ > k:
            res += q[0]
    
    return res

总结

这道题目虽然看上去很简单，但是实际上有很多细节需要注意。通过合理抽象，我们可以将问题转化为一个贪心问题，并通过小根堆来实现局部最优解。