新曼-肖恩斯-威廉斯素数

新曼-肖恩斯-威廉斯素数（Noble prime），也称为安全素数（Safe prime），是指形如 $p=2q+1$ 的质数 $p$（其中 $q$ 也是质数）。

这个概念的名称源自于三位数学家：Erich Eduard Lycklama à Nijeholt（1845-1912），Petr Alexandrovich Noble（1864-1920）和Émile Léonard Mathieu（1835-1890）。

数学原理

新曼-肖恩斯-威廉斯素数的数学原理比较简单。首先，我们可以用欧拉定理推导出：

$$a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$

其中 $a$ 是与 $p$ 互质的整数。

如果将 $p$ 写成 $p=2q+1$ 的形式，并将 $a=2$ 代入上面的等式中，我们可以得到：

$$2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$

根据费马小定理，如果 $q$ 也是质数，那么 $2^q \equiv 2 \pmod{q}$，所以：

$$2^{2q} \equiv 2^2 \pmod{q}$$

又因为 $p=2q+1$ 是质数，所以 $q$ 必须是奇数，于是我们可以写成：

$$2^{2q} \equiv 4 \pmod{p}$$

根据欧拉定理，我们又可以推导出：

$$2^{p-1} \equiv 2^{2q} \equiv 4 \pmod{p}$$

因此，如果 $p=2q+1$ 是质数，并且 $q$ 也是质数，那么 $p$ 就是新曼-肖恩斯-威廉斯素数。

应用场景

新曼-肖恩斯-威廉斯素数在密码学中有着重要的应用。因为新曼-肖恩斯-威廉斯素数的特殊性质，可以用来生成大的素数，以用于密码学中的RSA算法、Diffe-Hellman密钥交换协议等。

此外，新曼-肖恩斯-威廉斯素数还能够用于解决数学难题，例如，证明 Weak Mertens Conjecture（弱 Mertens 猜想）中的一个特殊情况。

代码实现

在 Python 中，判断一个数是否为新曼-肖恩斯-威廉斯素数可以使用如下代码：

def is_noble_prime(p):
    if not is_prime(p):
        return False
    q = (p - 1) // 2
    return is_prime(q) and (2 * q + 1) == p

其中 is_prime(p) 用于判断一个数是否是质数。

参考文献：

• Wikipedia: Safe prime
• Brilliant: Safe Primes