泰雷斯定理

泰雷斯定理（Thales's theorem）又称作直角三角形定理，是关于直角三角形中中线的定理，得名于古希腊数学家泰勒斯。

定理内容

在任何一个直角三角形中，如果以斜边的中点为圆心作一个圆，则这个圆与斜边两边所构成的两个直角三角形面积之和相等。

证明：

设 $\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$，$D$ 为 $AB$ 上的中点，$E$ 为 $AC$ 上的一点。$$ \because CD=BD, \ \angle DCE=\angle DBC=90^\circ $$ 从而 $\triangle CDE \cong \triangle BDC$。因此，$$ \dfrac{CE}{BC}=\dfrac{DE}{BD}=\dfrac{1}{2} $$ 从而 $C,E,B$ 三点共线，即 $CE$ 是 $\triangle ABC$ 的中线。同理可得，$BD$ 也是 $\triangle ABC$ 的中线。

设 $O$ 是以 $D$ 为圆心，$DB$ 为半径所作的圆的圆心，$F$ 是以 $O$ 为圆心，$OD$ 为半径所作的圆与 $AC$ 的交点。则 $\angle AFE=90^\circ$，且$$ \because OD=DB=CD, \ \angle DBC=\angle DCE=90^\circ $$ 从而 $EB=FC$，而$$ \because OD=OE $$ 因此，$OA=OF$，从而 $AF=FE$。因此，$\triangle AFE$ 与 $\triangle ABC$ 相似，且$$ \because AF=FE, \ \angle AFE = 90^\circ $$ 从而$$ S_{AED}+S_{AFD} = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot DE + \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot DF = \dfrac{1}{2} \cdot AD \cdot AF = \dfrac{1}{2} \cdot S_{ABC} $$

应用

泰雷斯定理的应用包括根据三角形成立条件来确定各边长的关系，确定几何中的等价物以及点和线的位置关系等。在计算机图形学领域，能够使用泰雷斯定理来求取直角三角形的各边长，以及三角形的重心和外接圆。