最长交替递增递减子数组的长度

在许多算法问题中，需要在数组中找到一段连续的子数组，并计算该子数组的某些属性。其中一个具有挑战性的问题是查找最长的极值符号交替子数组，也称为最长“山脉”子数组或最长“摇摆”子数组。

在本文中，我们将介绍如何使用动态规划和线性时间复杂度解决最长交替递增递减子数组的长度问题。我们还将讨论该问题的一种更简单的贪心方法。

问题描述

给定一个数组 nums，请找到最长的交替递增递减子数组（交替递增递减意味着其相邻元素之间有一个先递增再递减的关系）的长度。换言之，找到最长的“山脉”，其先递增再递减。

示例

以下示例展示了如何找到最长的交替递增递减子数组的长度：

输入: nums = [1,7,4,9,2,5] 输出: 6 解释: 整个数组都是一个交替递增递减子数组。

输入: nums = [1,17,5,10,13,15,10,5,16,8] 输出: 7 解释: 这个数组包含从第二个元素开始的一个长的山脉: [17,5,10,13,15,10,5]。

输入: nums = [1,2,3,4,5,6,7,8,9] 输出: 2 解释: 任何子数组都是交替递增递减的。

解法一：动态规划

为了解决这个问题，我们需要定义两个数组 up 和 down，分别表示最长的到索引 i 为止的交替递增和递减子数组的长度。

具体来说，up[i] 表示以索引 i 结尾的最长交替递增子数组的长度。down[i] 表示以索引 i 结尾的最长交替递减子数组的长度。

由于要求子数组必须是交替递增递减的，因此如果当前元素比前一个元素大，则可以将其添加到递减序列中，并更新 down 数组。相反，如果当前元素比前一个元素小，则可以将其添加到递增序列中，并更新 up 数组。为了处理第一个元素的情况，我们将 up[0] 和 down[0] 初始化为 1。

最长交替递增递减子数组的长度等于 up 和 down 中的最大值。

下面是使用动态规划解决最长交替递增递减子数组长度的 Python 代码：

def wiggleMaxLength(nums):
    n = len(nums)
    if n < 2:
        return n

    up = [1] * n
    down = [1] * n

    for i in range(1, n):
        if nums[i] > nums[i-1]:
            up[i] = down[i-1] + 1
            down[i] = down[i-1]
        elif nums[i] < nums[i-1]:
            down[i] = up[i-1] + 1
            up[i] = up[i-1]
        else:
            up[i] = up[i-1]
            down[i] = down[i-1]

    return max(up[-1], down[-1])

该算法的时间复杂度为 O(n)，其中 n 是数组的长度。该算法的空间复杂度为 O(n)，主要是 up 和 down 数组的空间复杂度。