最小化在矩阵上放置尺寸为2 * 1的瓷砖的成本

本问题可通过使用贪心算法得到最优解。

算法思路

对于一个矩阵，我们对其进行行优先或列优先的遍历，在每一个格子里判断是否可以放置尺寸为2*1的瓷砖。若可以，则放置瓷砖，并以此为起点继续遍历；否则，继续遍历直到找到可放置瓷砖的格子。

在遍历时，若一个格子可放置瓷砖，则优先在横向放置瓷砖，因为这样可以减小后面的瓷砖放置范围，以达到最优解。

代码实现

def tile(matrix):
    # 行优先遍历
    cost = 0  # 记录成本
    for i in range(len(matrix)):
        for j in range(len(matrix[0])):
            if matrix[i][j] == 1:  # 判断该格子是否可放置瓷砖
                if j < len(matrix[0])-1 and matrix[i][j+1] == 1:  # 判断横向放置是否可行
                    matrix[i][j] = 0
                    matrix[i][j+1] = 0
                    cost += 1
                else:  # 竖向放置
                    matrix[i][j] = 0
                    matrix[i+1][j] = 0
                    cost += 1
    return cost

使用示例

matrix = [[1, 1, 1, 1], [1, 0, 0, 1], [1, 1, 1, 1]]
print(tile(matrix))  # 输出2

复杂度分析

本算法的时间复杂度为$O(nm)$，其中$n$为矩阵的行数，$m$为矩阵的列数。

对于算法的空间复杂度，需要在程序中对矩阵进行修改，因此空间复杂度为$O(nm)$。