大小范围为[L，R]的最大和子数组

简介

给定一个整数数组，寻找一个最大和的连续子数组，该子数组的大小在[L，R]范围内。

这是一个常见的问题，可以使用动态规划、分治法或滑动窗口等算法求解。下面将介绍三种常用的解决方法。

解法一：动态规划

动态规划是一种自底向上的算法，适用于子问题重叠的情况。该算法下，数组中每个元素代表以该元素结尾的最大和子数组。

具体地，设$dp[i]$代表以$i$结尾的最大和子数组，$sum[i]$代表前$i$个元素的和，则有：

$$ dp[i] = \begin{cases} num[0] & i = 0 \ \max(dp[i-1]+num[i], num[i]) & L \leq i \leq R \ \max(dp[i-1]+num[i]-sum[i-L], num[i]-sum[i-L]) & i > R \end{cases} $$

其中，第三行表示$[i-L,i]$区间的和，使用$sum$数组维护。

最终的答案为$dp[i]$中的最大值，时间复杂度为$O(nR)$，空间复杂度为$O(n)$。

解法二：分治法

分治法是一种递归算法，将问题分为多个子问题，逐步解决。该算法下，将问题划分为大小范围在[L,mid]和[mid+1,R]的两个子数组，分别计算它们的最大和子数组。

对于包含mid的最大和子数组，最大值一定是形如$[i,mid]$和$[mid+1,j]$的两段区间之和，故可以从mid开始向左右两侧扩展，求解左右两侧的最大子数组。

最终的答案为三个子问题中的最大值，时间复杂度为$O(n\log n)$，空间复杂度为$O(\log n)$。

解法三：滑动窗口

滑动窗口是一种线性算法，适用于子数组大小固定的情况。该算法下，维护一个大小为$R$的滑动窗口，不断更新最大和子数组。

具体地，设$sum$为滑动窗口中的元素和，$maxsum$为当前最大的子数组和，则可以通过双指针来维护滑动窗口：

1. 若$sum$小于0，则滑动窗口向右移动一位，更新$sum$。
2. 若$sum$不小于0，则将$maxsum$更新为$sum$和$maxsum$中的较大值。
3. 移动右指针一位，更新$sum$。

最终的答案即为$maxsum$，时间复杂度为$O(n)$，空间复杂度为$O(1)$。该算法还可以进一步优化，使用两个滑动窗口来维护大小在[L,R]之间的最大和子数组，时间复杂度仍为$O(n)$，但常数更小。