改变数组后的最大和子数组

问题描述

给定一个长度为 n 的整数数组 nums，你可以将其中的一些元素修改为任意值，并使其余元素保持不变。求在这样的情况下，能够得到的最大和的子数组，并返回该子数组的和。

示例 1：

输入：nums = [1,-2,3,-2]
输出：5
解释：你可以修改为 [1,1,3,-2]，子数组最大和为 5。

示例 2：

输入：nums = [2,-1,2]
输出：4
解释：你可以修改为 [2,1,2]，子数组最大和为 4。

示例 3：

输入：nums = [-1,-1,-1,-1]
输出：-1
解释：无论如何修改，子数组和都为 -1。

思路分析

根据题目描述可以得知，要想使得最大和最大，就要尽可能多的选用正数，而要减少负数的数量，则需要找到长度为 k（最小操作次数）的、和最小的子数组将其改变，使得其成为正数。这可以转化为寻找长度为 k 的最小子段和。

以下为算法步骤：

1. 先对所有负数排序。
2. 用前缀和计算所有连续的正数子数组之和，将其保存到数组 preSum 中。
3. 枚举所有可以替换的负数（共有 k = 1, 2, 3,... 个），并在 preSum 中寻找长度为 k 的最小值，并记录最小值。
4. 最后将数组的最终和与最小值相加，得到最大和的子数组的和。

代码实现

import heapq

def maximum_sum(nums):
    # 对所有负数排序
    negs = sorted([n for n in nums if n < 0])
    
    # 计算所有正数子数组之和
    cur_sum, pre_sum, pre = 0, [], 0
    for i, n in enumerate(nums):
        cur_sum += n
        if cur_sum > 0 and (i == 0 or nums[i-1] <= 0):
            pre_sum.append(cur_sum)
            pre += 1
    
    # 找到所有长度为 k 的最小子段和
    k, ans = min(len(negs), len(pre_sum)), sum(nums)
    for i in range(1, k+1):
        min_sum = heapq.nsmallest(i, negs)
        ans = max(ans, sum(pre_sum) - sum(min_sum))
        
    return ans

具体实现中，为了找到长度为 k 的最小子段和，使用了 Python 自带的「堆」（Heaps）工具类 heapq。heapq.nsmallest(k, iterable[, key]) 既可以用于永久性地从一个列表或迭代器中选择最小的 k 个元素，也可以用于作为一种高效率的替代方法，暂时排序完整个序列，然后取最小元素列表切片的操作。