查找数组中所有唯一对的 LCM 的 GCD

在计算机科学中，最小公倍数（LCM）和最大公约数（GCD）是基本的算法和数学概念。在这个问题中，我们需要查找一个数组中所有不同对的 LCM 的 GCD 。

算法

我们可以遍历所有可能的数组对并计算它们的 LCM，然后再对这些 LCM 的集合计算 GCD。然而，这种算法的时间复杂度为 O(n^3)，适合较小的数组。

在更大的数组中，我们可以使用另一种算法：

1. 对于数组中的每个数字，计算其质因数分解。
2. 对于每个数字的质因数，确定其出现的最大频率。
3. 维护一个数组，其中每个位置都包含该质数的最大频率。
4. 对于数组中的每个数字，根据以上计算得到的质因数频率数组以及每个数字的质因数分解计算 LCM。
5. 对所有计算出的 LCM，计算 GCD。

这种算法的时间复杂度为 O(n log n)，适用于大型数组。

代码实现

以下是使用 Python 实现以上算法的代码片段：

from collections import defaultdict
import math

def calculate_lcm(nums):
    primes = defaultdict(int)
    for num in nums:
        for i in range(2, int(math.sqrt(num))+1):
            cnt = 0
            while num % i == 0:
                cnt += 1
                num //= i
            primes[i] = max(primes[i], cnt)
        if num > 1:
            primes[num] = max(primes[num], 1)
    lcm = 1
    for prime, freq in primes.items():
        lcm *= prime ** freq
    return lcm

def find_unique_pairs_gcd(nums):
    lcm_set = set()
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i+1, len(nums)):
            lcm_set.add(calculate_lcm([nums[i], nums[j]]))
    lcm_list = list(lcm_set)
    gcd = lcm_list[0]
    for lcm in lcm_list[1:]:
        gcd = math.gcd(gcd, lcm)
    return gcd

# example usage
nums = [2, 4, 6, 8]
print(find_unique_pairs_gcd(nums))  # output: 2

以上代码中，calculate_lcm 函数计算一个数字列表的 LCM，find_unique_pairs_gcd 函数遍历数组并计算所有唯一对的 LCM，最后计算所有 LCM 的 GCD。