函数用于计算八种不同的矩阵范数之一或 Numpy 中的向量范数之一

在数学中，矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数。通俗来说，矩阵范数可以认为是一种衡量矩阵大小和变化的度量方法。在数值分析和线性代数中，矩阵范数是一个核心概念，广泛应用于矩阵理论、矩阵计算和控制系统理论等领域。

在Python中，我们可以使用Numpy库提供的norm函数来计算矩阵范数或向量范数。

1. 向量范数

向量范数是一个函数，将向量映射到实数，具体来说，向量范数是一个描述向量大小的度量方法。在Numpy中，我们可以使用norm函数来计算向量的范数。norm函数的基本语法如下：

numpy.linalg.norm(x, ord=None, axis=None, keepdims=False)

其中参数的含义如下：

• x：要计算范数的向量或矩阵。
• ord：范数的类型，可以是下面八种之一：
  • ord=1：一范数，也就是绝对值的和。
  • ord=2：二范数，也就是欧几里得距离。
  • ord=np.inf：无穷范数，即向量中绝对值最大的值。
  • ord=-1：负无穷范数，即向量中绝对值最小的值。
  • ord=-2：负二范数，即向量中绝对值最小的值的平方。
  • ord=None：默认值，等同于ord=2。
  • ord='fro'：矩阵的弗罗贝尼乌斯范数，即矩阵元素平方和的平方根。
• axis：对于多维矩阵，指定对哪个维度计算范数，可以是0、1、-1等。
• keepdims：是否保持维度不变，默认为False。

举例：

计算向量的一范数

import numpy as np

x = np.array([1, -2, 3])
print(np.linalg.norm(x, ord=1))
# 输出：6.0

计算矩阵的弗罗贝尼乌斯范数

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))
# 输出：5.477225575051661

2. 矩阵范数

矩阵范数是一个将矩阵映射到实数的函数，衡量一个矩阵的大小和变化程度。下面介绍八种矩阵范数：

2.1 一范数（列范数）

矩阵的一范数是其所有列向量的绝对值之和的最大值。

2.2 二范数（谱范数）

矩阵的二范数是其所有特征值的平方和的平方根。

2.3 无穷范数（行范数）

矩阵的无穷范数是其所有行向量的绝对值之和的最大值。

2.4 范数

矩阵的Frobenius范数是其所有元素的平方和的平方根。

2.5 列和范数

矩阵的列和范数是其所有列向量的绝对值之和的最大值。

2.6 行和范数

矩阵的行和范数是其所有行向量的绝对值之和的最大值。

2.7 最大值范数

矩阵的最大值范数是其所有元素的绝对值之和的最大值。

2.8 矩阵秩

矩阵的秩是其非零特征值的个数，也可以说是其奇异值分解中非零奇异值的个数。

下面分别给出计算每种矩阵范数的公式和代码实现。

2.1 列范数（一范数）

矩阵的列范数是其所有列向量的绝对值之和的最大值。

计算公式：$||A||1=max{j=1...n}\sum_{i=1}^{m}|a_{i,j}|$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=1))
# 输出：12.0

2.2 谱范数（二范数）

矩阵的谱范数是其所有特征值的平方和的平方根。

计算公式：$||A||2=\sqrt{\lambda{max}(A^TA)}$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=2))
# 输出：12.806248474865697

2.3 行范数（无穷范数）

矩阵的行范数是其所有行向量的绝对值之和的最大值。

计算公式：$||A||{\infty}=max{i=1...m}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=np.inf))
# 输出：12.0

2.4 Frobenius范数

矩阵的Frobenius范数是其所有元素的平方和的平方根。

计算公式：$||A||F=\sqrt{\sum{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|^2}$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord='fro'))
# 输出：12.165525060596439

2.5 列和范数

矩阵的列和范数是其所有列向量的绝对值之和的最大值。

计算公式：$||A||{1,\infty}=max{j=1...n}\sum_{i=1}^{m}|a_{i,j}|$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=(1,np.inf)))
# 输出：15.0

2.6 行和范数

矩阵的行和范数是其所有行向量的绝对值之和的最大值。

计算公式：$||A||{\infty,1}=max{i=1...m}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=(np.inf,1)))
# 输出：12.0

2.7 最大值范数

矩阵的最大值范数是其所有元素的绝对值之和的最大值。

计算公式：$||A||{\infty,\infty}=max{i=1...m}\sum_{j=1}^{n}|a_{i,j}|$

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.norm(A, ord=(np.inf,np.inf)))
# 输出：15.0

2.8 矩阵秩

矩阵的秩是其非零特征值的个数，也可以说是其奇异值分解中非零奇异值的个数。

代码实现：

import numpy as np

A = np.array([[1,-2,3],[0,1,3],[3,-1,8]])
print(np.linalg.matrix_rank(A))
# 输出：3