范数是为向量或变量赋予严格正值的函数。

范数是一个函数$ f：\ mathbb {R} ^ n \ rightarrow \ mathbb {R} $

规范的基本特征是-

令$ X $为向量，使得\ mathbb {R} ^ n $中的$ X \

• $ \左\ | x \ right \ | \ geq 0 $

• $ \左\ | x \ right \ | = 0 \ Leftrightarrow x = 0 \ forall x \ in X $

• $ \ left \ | \ alpha x \ right \ | = \ left | \ alpha \ right | \ left \ | x \ right \ | \ forall \：x \在X和\：\ alpha \：is \：a \：scalar $

• $ \左\ | x + y \ right \ | \ leq \ left \ | x \右\ | + \左\ | y \ right \ | \ forall x，y \ in X $

• $ \左\ | xy \ right \ | \ geq \ left \ | \左\ | x \右\ |-\左\ | y \ right \ | \ right \ | $

根据定义，范式的计算如下：

• $ \左\ | x \ right \ | _1 = \ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | $

• $ \左\ | x \ right \ | _2 = \ left(\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ 2 \ right)^ {\ frac {1} {2}} $

• $ \左\ | x \ right \ | _p = \ left(\ displaystyle \ sum \ limits_ {i = 1} ^ n \ left | x_i \ right | ^ p \ right)^ {\ frac {1} {p}}，1 \ leq p \ leq \ infty $

规范是一种连续的函数。

证明

根据定义，如果$ X \ Rightarrow f \ left(x_n \ right)\ rightarrow f \ left(x \ right)$中的$ x_n \ rightarrow x $，则$ f \ left(x \ right)$是常数函数。

设$ f \ left(x \ right)= \ left \ | x \ right \ | $

因此，$ \ left | f \ left(x_n \ right)-f \ left(x \ right)\ right | = \ left | \左\ | x_n \ right \ | -\左\ | x \ right \ | \ right | \ leq \ left | \左| x_n-x \ right | \：\对| $

由于$ x_n \ rightarrow x $因此，$ \ left \ | x_n-x \ right \ | \ rightarrow 0 $

因此$ \ left | f \ left(x_n \ right)-f \ left(x \ right)\ right | \ leq 0 \ Rightarrow \ left | f \ left(x_n \ right)-f \ left(x \ right)\ right | = 0 \ Rightarrow f \ left(x_n \ right)\ rightarrow f \ left(x \ right)$

因此，范数是一个连续函数。