最长子序列总和最大

在计算机科学中，最长子序列总和最大（Maximum Subarray）问题是指在一个列表中找到一个连续的子序列，使得子序列的总和最大。例如，给定列表 [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4]，最大的子序列为 [4, -1, 2, 1]，其总和为 6。

该问题常常被作为动态规划的练手题目，也是求解各种优化问题的基础。

解法

暴力算法

最直观的解法是暴力算法，也就是对于每个可能的子序列，计算其总和，最后输出总和最大的子序列。时间复杂度为 $O(n^3)$，空间复杂度为 $O(1)$。

动态规划

基于暴力算法，我们可以使用动态规划来优化算法。我们用变量 $f(i)$ 表示以第 $i$ 个数结尾的最大子序列和，那么我们可以得到递推公式：

$$f(i) = \max{f(i-1)+a_i, a_i}$$

其中 $a_i$ 表示第 $i$ 个数。这个递推公式的意义在于，如果以 $a_{i-1}$ 结尾的子序列和为正数，那么 $f(i)$ 就等于 $a_i$ 加上以 $a_{i-1}$ 结尾的子序列和；否则，我们就只选择 $a_i$ 作为子序列的起点，同时将 $f(i)$ 设为 $a_i$。时间复杂度为 $O(n)$，空间复杂度为 $O(n)$。

分治算法

最后，我们介绍一种时间复杂度更低的分治算法。我们将给定的序列均分为两部分，那么最大子序列必然出现在三种情况中的某一种：

1. 出现在左半部分
2. 出现在右半部分
3. 跨越左右两个部分

前两种情况可以用递归求解。对于第三种情况，我们可以从第 $m$ 个数开始向左扩展 （$m\in[1,n]$），找到一个以 $A[m]$ 结尾的最大子序列 $[m,j]$，同理从第 $m+1$ 个数开始向右扩展，找到一个以 $A[m+1]$ 开头的最大子序列 $[i,m+1]$。那么跨越左右两个部分的最大子序列就是 $[i,j]$，其和为 $[m,j]$ 的最大子序列和加上 $[i,m+1]$ 的最大子序列和减去 $A[m]$。时间复杂度为 $O(n\log n)$。

代码实现

动态规划

def max_subarray(nums):
    n = len(nums)
    dp = [0] * n
    dp[0] = nums[0]
    for i in range(1, n):
        dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
    return max(dp)

分治算法

def max_crossing_subarray(nums, left, mid, right):
    left_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid, left-1, -1):
        sum += nums[i]
        if sum > left_sum:
            left_sum = sum
            left_index = i
    right_sum = float('-inf')
    sum = 0
    for i in range(mid+1, right+1):
        sum += nums[i]
        if sum > right_sum:
            right_sum = sum
            right_index = i
    return left_index, right_index, left_sum+right_sum

def max_subarray(nums, left, right):
    if left == right:
        return left, right, nums[left]
    else:
        mid = (left + right) // 2
        left_index, left_sum = max_subarray(nums, left, mid)
        right_index, right_sum = max_subarray(nums, mid+1, right)
        cross_index, cross_sum = max_crossing_subarray(nums, left, mid, right)
        if left_sum >= right_sum and left_sum >= cross_sum:
            return left_index, mid, left_sum
        elif right_sum >= left_sum and right_sum >= cross_sum:
            return mid+1, right_index, right_sum
        else:
            return cross_index, cross_index, cross_sum

def max_subarray(nums):
    return max_subarray(nums, 0, len(nums)-1)

总结

最长子序列总和最大问题是一个经典的算法问题，在考研和求职面试中也较为常见。掌握该问题的多种解法，不仅可以增强自身的算法能力，还有助于更好地理解动态规划和分治算法的设计方法和思想。