软件工程 | Goel-Okumoto 模型

Goel-Okumoto 模型（也称为指数 NHPP 模型）基于以下假设：

1. 从故障检测的角度来看，程序中的所有故障都是相互独立的。
2. 任何时候检测到的故障数量与程序中当前的故障数量成正比。这意味着实际发生（即检测到）故障的故障概率是恒定的。
3. 隔离的故障在未来的测试场合之前被移除。
4. 每次发生软件故障时，立即消除导致该故障的软件错误，并且不会引入新的错误。

这显示在以下微分方程中：

    $$$\frac{\partial m(t)}{\partial t} = b[a-m(t)]$$ \null\hfill Eqn(1)$

其中a是测试前软件中存在的预期故障总数，b是故障检测率或故障的故障强度。

定理：

微分方程 1 的均值函数解由下式给出

    $$$m(t) = a(1-e^{-bt})$$$

该模型被称为Goel-Okumoto 模型

对于 Type-I 数据，使用 MLE 方法对 Goel-Okumoto 模型的参数 a 和 b 的估计值可以通过同时求解以下方程获得：

    $$$a= \frac{y_n}{(1-e^{-bt_n})}\\$$ $$\frac{y_nt_ne^{-bt_n}}{1-e^{-bt_n}} = \sum_{k=1}^n \frac{(y_k-y_{k-1})(t_ke^{-bt_k}-t_{k-1}e^{-bt_{k-1}})}{(e^{-bt_{k-1}}-e^{-bt_k})} \\ $$$

类似地，对于 Type-II 数据，使用 MLE 估计参数 a 和 b
方法可以通过求解以下方程得到：

    $$$a= \frac{n}{(1-e^{-bS_n})}\\$$ $$\frac{n}{b} = \sum_{k=1}^n S_i + \frac{nS_ne^{(-bS_n)}}{1-e^{-bS_n})} \\ $$$

让$$\hat{a}$$和$$ \hat{b} $$分别是参数 a 和 b 的 MLE。然后我们可以得到均值函数（MVF）和可靠性函数的 MLE，如下所示：

    $$$\hat{m} (t)=\hat{a} [1-e^{-\hat{b}t}]$$ $$ \hat{R} (x|t)=e^{-\hat{a}[e^{-\hat{b}t}-e^{-\hat{b}(t+x)}]}$$$

确定在时间 t 的故障次数 N(t) 的可变性是有意义的。可以根据泊松分布近似获得 N(t) 的置信区间为

    $$$\hat{m}-z_{\alpha} \sqrt{\hat{m}(t)}\leq N(t)\leq \hat{m}(t) + z_{\alpha} \sqrt{\hat{m}(t)} $$$

在哪里$$z_a$$是$$100(1+\alpha)/2$$标准正态分布的百分位数，即 N(0, 1)。