评估系列

本系列包含三个计算数列和的问题，具体如下：

(a) 计算 $1 + 2 + 3 + \cdots + 20$

(b) 计算 $5 \cdot 1^2 + 5 \cdot 2^2 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + 5 \cdot 60^2$

(c) 计算 $2\ln3 - 5\cdot1 + 2\ln3 - 5\cdot2 + \cdots + 2\ln3 - 5\cdot11$

解答

(a) 首先，我们可以利用等差数列求和公式，得到

$$1 + 2 + 3 + \cdots + 20 = \frac{20\times(20+1)}{2} = 210$$

因此，答案为 210。

# Python 代码
sum_a = sum(range(1, 21))
print(sum_a)

(b) 我们可以利用等差数列求和公式，把每一项都展开。

$$\begin{aligned} 5 \cdot 1^2 + 5 \cdot 2^2 + 5 \cdot 3^2 + \cdots + 5 \cdot 60^2 &= 5(1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + 60^2) \ &= 5\cdot\frac{60\times(60+1)\times(2\times60+1)}{6} \ &= 5\times(60^2 + 60 + 20) \ &= 46500 \end{aligned}$$

因此，答案为 46500。

# Python 代码
sum_b = 5 * sum([j**2 for j in range(1, 61)])
print(sum_b)

(c) 我们可以利用等差数列求和公式，把每一项都表示为 $2\ln3 - 5i$ 的形式。

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{11} (2\ln3 - 5i) &= \sum_{i=1}^{11} 2\ln3 - \sum_{i=1}^{11} 5i \ &= 22\ln3 - 5\cdot\frac{11\times(11+1)}{2} \ &= 22\ln3 - 330 \end{aligned}$$

因此，答案为 $22\ln3 - 330$。

# Python 代码
import math

sum_c = 2*11*math.log(3) - 5*sum(range(1,12))
print(sum_c)