纳拉亚纳数

纳拉亚纳数（Narayana number）是一类整数数列，是组合数学和计算数学中的一个重要分支。

在组合数学中，纳拉亚纳数用于描述一些集合的计数问题，比如在 n 个球中选取 r 个球，使得取出的球中没有相邻的球。在计算数学中，纳拉亚纳数可以用于设计和分析一些算法。

定义

纳拉亚纳数的定义如下：

$$N(n,r) = \frac{1}{n}\binom{n-1}{r-1}\binom{n-2}{r-2}$$

其中，$\binom{n}{r}$ 表示从 n 个不同元素中选取 r 个元素的组合数。

代码实现

以下是计算纳拉亚纳数的 Python 代码实现：

def narayana_number(n, r):
    return ((n - r + 1) * binomial_coefficient(n, r)) // n

def binomial_coefficient(n, r):
    res = 1
    for i in range(r):
        res = res * (n - i) // (i + 1)
    return res

其中，binomial_coefficient(n, r) 是计算组合数的函数，使用了递推式计算，时间复杂度为 O(r)。

应用

纳拉亚纳数在组合数学和计算数学中有广泛的应用。以下是一些典型的应用：

• 纳拉亚纳数可以用于计算圆排列（一个环上放置 n 个不同的球，两个排列视为相同当且仅当一个排列可由另一个排列旋转得到），圆排列的数量为 $(n-1)!$ 除以 n。
• 在卡特兰数的生成函数 $C(x)$ 中，纳拉亚纳数是 $C(x)$ 的系数。
• 纳拉亚纳数还可以用于计算 Dyck 语言中合法字符串的数量（Dyck 语言是一种只包含左右括号的字符串集合，且左右括号的数量相等，左括号必须先于右括号出现，每个左括号对应一个右括号），合法字符串的数量为 $N(n,n)$。