非负矩阵分解

非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization, NMF）是一种常用的数据降维技术，也是大数据分析中最重要的基础工具之一。NMF 可以将一个大型的非负数据矩阵分解成两个小型的矩阵，便于后续处理。

算法简介

NMF 的算法基于以下假设：

• 输入矩阵 $A$ 可以用其它两个非负矩阵 $W$ 和 $H$ 相乘得到，即 $A=W \cdot H$。
• 矩阵 $W$ 和 $H$ 的所有元素都非负。

因此，目标就变为了找到 $W$ 和 $H$ 的一个合适的分解。

一步步来：

1. 选择 $W$ 和 $H$ 的初始矩阵。
2. 重复以下步骤直到收敛：
   1. 利用已知的 $W$ 和 $H$ 更新 $H$。
   2. 利用已知的 $W$ 和 $H$ 更新 $W$。

具体的更新公式可以使用欧几里得距离或者 KL 散度来拟合目标矩阵和近似矩阵之间的距离。

NMF 的应用

NMF 可以应用在以下场景中：

1. 图像处理，如对图片进行聚类、降噪等。
2. 信号处理，如对音频信号进行分离、降噪等。
3. 文本处理，如对文本进行分类、主题提取等。

Python 实现

Python 的常用机器学习库 scikit-learn 中提供了 NMF 的实现。以下是一个简单的例子：

from sklearn.decomposition import NMF
import numpy as np

# 创建一个 4*6 的矩阵
X = np.array([[1, 0, 2, 4, 0, 5],
              [4, 0, 0, 5, 1, 2],
              [0, 1, 3, 4, 2, 0],
              [5, 0, 4, 3, 1, 7]])

# 训练模型并分解矩阵
model = NMF(n_components=2, init='random', random_state=0)
W = model.fit_transform(X)
H = model.components_

print(W)
print(H)

上述代码中，我们通过 NMF 将一个 $46$ 的矩阵分解成两个 $42$ 的矩阵 $W$ 和 $H$。

总结

非负矩阵分解是一种常用的数据降维技术，可以将大型的非负数据矩阵分解成两个小型的矩阵，便于后续处理。Python 中的 scikit-learn 库提供了 NMF 的实现。