数数到达第 n 级楼梯的方法

在解决问题的过程中，数学和递归是两种常见的方法。本文将介绍一个传统的算法问题 - 如何计算到达第 n 级楼梯的方法数。

为了解决这个问题，我们将探讨两种解法：递归和动态规划，它们之间有着密切的联系。

递归解法

递归是一种将问题分解为更小子问题的方法。当我们站在第 n 级楼梯上时，我们可以选择跳上 n-1 级楼梯，或者跳上 n-2 级楼梯。因此，到达第 n 级楼梯的方法数等于到达第 n-1 级楼梯的方法数加上到达第 n-2 级楼梯的方法数。

递归解法的示例代码如下：

def countWaysRecursive(n):
    if n == 0:
        return 1
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return countWaysRecursive(n-1) + countWaysRecursive(n-2)

以上代码首先处理了特殊情况：楼梯级数为 0 和 1 时，方法数均为 1。对于其他情况，代码进行递归调用，计算到达 n-1 级楼梯和 n-2 级楼梯的方法数，并将它们相加。

然而，递归解法存在一个严重的效率问题。当楼梯级数 n 较大时，递归会重复计算相同的子问题，导致重复的工作量，使得计算时间长。

动态规划解法

动态规划是一种通过存储中间计算结果来降低重复计算的技术。我们可以使用一个数组来存储到达每一级楼梯的方法数。

动态规划解法的示例代码如下：

def countWaysDP(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1

    ways = [0] * (n + 1)
    ways[0] = 1
    ways[1] = 1

    for i in range(2, n + 1):
        ways[i] = ways[i-1] + ways[i-2]

    return ways[n]

以上代码首先处理了特殊情况，然后创建了一个长度为 n+1 的数组 ways，并将前两级楼梯的方法数初始化为 1。

通过一个循环，我们可以依次计算每一级楼梯的方法数，并将结果存储在数组中。最终返回数组中第 n 个元素的值，即到达第 n 级楼梯的方法数。

动态规划解法避免了重复计算，相比递归解法具有更高的效率。它是一种常用的解决类似问题的方法，特别适用于计算某个问题的所有子问题。但是需要注意，动态规划解法需要额外的存储空间。

总结

通过递归和动态规划两种方法，我们可以计算到达第 n 级楼梯的方法数。递归解法简单直观，但效率较低；而动态规划解法通过存储中间计算结果，避免了重复计算，提高了效率。

在实际开发中，我们可以根据具体问题的特点选择适合的解法。若楼梯级数较小，递归解法足以满足要求；若楼梯级数较大，动态规划解法更为合适。

参考资料：

• Dynamic Programming - Stair Climbing Problem