最小化大小为K的N个子数组的最大元素

问题描述

给定一个长度为N的数组nums和一个正整数K，将该数组划分成K个连续的子数组，使得这K个子数组的最大元素的最小值尽可能大。

具体而言，设计一个算法，找到最小的数x，满足数组可以被划分为K个连续的子数组，使得每个子数组内的最大元素都不大于x。

解题思路

这是一道二分查找和贪心结合的题目。假设我们已经找到了一个数x，使得数组nums可以被划分为K个连续的子数组，使得每个子数组内的最大元素都不大于x。现在考虑如何验证这个假设。

我们可以用贪心的思想来验证这个假设。具体而言，从左到右遍历数组nums，尝试将每个元素加入到当前子数组中。如果加入元素后当前子数组内的最大值大于x，就需要将当前子数组结束，并开辟一个新的子数组。如果开辟新的子数组超过了K个，说明当前的假设不成立，应该将x的值增加。反之，如果开辟的子数组少于等于K个，说明当前的假设成立，并应该将x的值减小。

下面是代码实现：

class Solution:
    def splitArray(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        left, right = max(nums), sum(nums)
        while left < right:
            mid = (left + right) // 2
            cnt = 1  # 开辟的子数组的个数，初始为1
            cur_sum = 0  # 当前子数组的元素之和
            for num in nums:
                if cur_sum + num > mid:
                    cnt += 1
                    cur_sum = num
                else:
                    cur_sum += num
            if cnt <= k:
                right = mid
            else:
                left = mid + 1
        return left

复杂度分析

时间复杂度为O(nlogS)，其中n是数组的长度，S是数组中所有元素的和。该算法进行了logS次二分查找，每次查找需要遍历数组一次进行贪心检验，因此总时间复杂度是O(nlogS)。空间复杂度为O(1)。

总结

该算法充分利用了二分查找和贪心的优点，是一道很经典的题目。需要注意的是，每个子数组的长度至少为1，且需要将区间左右端点初始化为数组的最大值和所有元素的和，否则有可能会出现偏差。