最小化字符重新定位的计数以使所有给定的字符串相等

问题描述

给定 $n$ 个字符串 $s_1, s_2, \dots, s_n$，假设这些字符串长度相等且均由小写字母组成。将所有字符串转换为目标字符串 $t$ 的代价是，对每个位置，统计出所有字符串该位置上字母到目标字符串该位置上字母的差的绝对值之和。现在请你计算将所有字符串都转换为目标字符串所需的最小代价。

算法思路

观察问题，我们会发现，无论怎么调整字符串的字母顺序，最终得到的目标字符串都是相同的。因此，我们只需要统计每个位置上每个字母出现的次数即可。

设第 $i$ 个字符串第 $j$ 个位置出现字母 $c$ 的次数为 $cnt_{i, j, c}$，则目标字符串 $t$ 第 $j$ 个位置出现字母 $c$ 的次数为 $\sum\limits_{i=1}^n cnt_{i, j, c}$。因此，我们可以用一个大小为 $26 \times n$ 的数组 $cnt$ 维护每个字母在各个字符串各个位置上的出现次数。

计算出目标字符串 $t$ 的各个位置上出现的所有字母和出现次数后，我们就可以计算出将所有字符串都转换为目标字符串的最小代价。具体来说，枚举目标字符串 $t$ 的每个位置 $j$ 和每个字母 $c$，计算出在所有字符串中，第 $i$ 个字符串在位置 $j$ 上出现字母 $c$ 的次数 $cnt_{i,j,c}$，计算将所有字符串转化为目标字符串的代价即 $\sum\limits_{i=1}^n |cnt_{i,j,c} - \sum\limits_{k=1}^n cnt_{k,j,c}|$。

于是，最终的答案即为枚举所有位置和字母后的代价的和。

算法实现

下面是使用 Python 实现的代码：

def min_total_distance(strs: List[str]) -> int:
    # 统计每个字母在所有字符串的各个位置上出现的次数
    cnt = [[0] * len(strs) for _ in range(26)]
    for i in range(len(strs)):
        for j in range(len(strs[i])):
            cnt[ord(strs[i][j]) - ord('a')][j] += 1

    # 计算得到目标字符串 t 各个位置上出现的所有字母和出现次数
    t_cnt = [0] * len(strs[0])
    for c in range(26):
        for j in range(len(strs[0])):
            t_cnt[j] += cnt[c][j] * (chr(c + ord('a')) == strs[0][j])

    # 计算转换为目标字符串 t 的代价
    res = 0
    for j in range(len(strs[0])):
        for c in range(26):
            cnt_jc = 0
            for i in range(len(strs)):
                cnt_jc += cnt[c][j] * (strs[i][j] == chr(c + ord('a')))
            res += abs(cnt_jc - t_cnt[j])
    return res

算法分析

以上算法的时间复杂度为 $O(nm\alpha)$，其中 $n$ 为字符串数，$m$ 为字符串长度，$\alpha$ 为字符集大小。我们需要使用一个 $26 \times n$ 的数组 $cnt$ 统计每个字母在各个字符串各个位置上的出现次数，这需要 $O(26nm)$ 的时间。接下来，我们需要枚举目标字符串 $t$ 的每个位置和每个字母，这需要 $O(m\alpha)$ 的时间。在枚举的过程中，我们需要计算出在所有字符串中，某个位置上某个字母出现的次数，这需要 $O(n)$ 的时间。因此，计算代价的总时间复杂度为 $O(nm\alpha + m\alpha n) = O(nm\alpha)$。

由于题目给出了字符串的长度相等且小于等于 $100$，字符集大小为 $26$，因此我们可以放心地使用上述算法，无需担心超时的问题。