计算数字阶乘中的尾随零

在计算数字阶乘时，我们经常需要计算尾随零的数量。本文将介绍如何通过编程来计算阶乘尾随零的数量。

什么是阶乘？

阶乘表示将一个正整数乘以所有小于或等于该数的正整数的乘积。用符号!表示，例如5!表示$5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$。

阶乘尾随零的含义

阶乘尾随零即为阶乘结果末尾的连续零的数量。例如5!的结果为120，末尾有一个尾随零。

如何计算阶乘尾随零的数量？

阶乘尾随零的数量取决于该阶乘的质因数分解，即分解成质数的乘积。对于一个质数分解后有$p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_n^{a_n}$的数，其阶乘尾随零的数量为$\lfloor \frac{a_1}{5} \rfloor + \lfloor \frac{a_2}{5} \rfloor + \cdots + \lfloor \frac{a_n}{5} \rfloor$。

例如$100!$分解成质数的乘积为$2^{97} \times 3^{48} \times 5^{24} \times 7^{16} \times 11^9 \times 13^7 \times 17^5 \times 19^5 \times 23^4 \times 29^3 \times 31^3 \times 37^2 \times 41^2 \times 43^2 \times 47^2 \times 53 \times 59 \times 61 \times 67 \times 71 \times 73 \times 79 \times 83 \times 89 \times 97$，其中$5$的指数为$24$，则$100!$的尾随零数量为$\lfloor \frac{24}{5} \rfloor=4$。

以下是一个Python代码片段，用于计算阶乘尾随零的数量：

def count_trailing_zeroes(n):
    count = 0
    i = 5
    while n / i >= 1:
        count += int(n / i)
        i *= 5
    return count

其中，函数count_trailing_zeroes(n)用于计算$n!$的尾随零数量。使用循环计算$n!$分解成质数后，$5$的指数之和，并将其作为函数的返回值。