将字符串划分为两个平衡子序列的方法数量

问题简述

给定一个字符串，编写一个函数来计算划分该字符串为两个平衡子序列的方法数量。平衡子序列是指字符串中每个字符出现的次数都相同。

例如，给定字符串 "ababa"，可以将其分为 "aba" 和 "ba" 两个平衡子序列，因此方法数为 1。注意，空字符串也算平衡子序列。

思路分析

假设字符串长度为 n，平衡子序列中每个字符出现的次数为 k，那么我们有以下条件：

1. 字符串中每个字符出现的次数必须是 k 的倍数；
2. 平衡子序列中每个字符出现的次数也必须是 k 的倍数。

如果字符串中不存在某个字符的倍数不是 k，那么无法划分。否则，我们可以遍历字符串，统计每个字符的出现次数，然后判断是否存在某个字符出现的次数不是 k 的倍数。

如果存在这样的字符，则无法划分。否则，我们可以根据贪心的思想，从左到右遍历字符串，依次将字符添加到左边的平衡子序列或右边的平衡子序列，直到无法添加为止。

具体地，我们可以维护两个计数器 leftCount 和 rightCount，分别表示左边平衡子序列和右边平衡子序列中每个字符出现的次数。初始时，左边和右边的平衡子序列都是空的。

然后，我们可以遍历字符串中的每个字符。对于每个字符，我们可以将其添加到左边或右边的平衡子序列中。添加到左边平衡子序列的条件是，添加该字符后左边平衡子序列中该字符出现的次数不超过 k；同理，添加到右边平衡子序列的条件是，添加该字符后右边平衡子序列中该字符出现的次数不超过 k。

如果既可以添加到左边平衡子序列，也可以添加到右边平衡子序列，那么可以考虑分别在两种情况下递归调用函数，将其结果相加。

递归调用函数的边界条件是，左边平衡子序列和右边平衡子序列的长度都是 n/2。如果左右两边平衡子序列的长度和不等于 n，说明这种划分方式是无效的。

最终，我们可以返回所有合法划分方式的数量。

代码实现

下面是用 Python 语言实现的代码片段。该函数的输入参数是一个字符串，返回值是划分为两个平衡子序列的方法数量，如果不存在这样的划分方式，则返回 0。

def partition(s: str) -> int:
    n = len(s)
    k = n // 2
    count = [0] * 26
    for c in s:
        count[ord(c) - ord('a')] += 1
    for x in count:
        if x % k != 0:
            return 0
    left, right = {}, {}
    return dfs(s, k, left, right, 0, 0)

def dfs(s, k, left, right, l, r):
    # 边界条件：平衡子序列长度达到 k/2
    if l + r == len(s):
        if l == k and r == k:
            return 1
        else:
            return 0
    # 递归调用
    res = 0
    c = s[l + r]
    if left.get(c, 0) < k:
        left[c] = left.get(c, 0) + 1
        res += dfs(s, k, left, right, l+1, r)
        left[c] -= 1
    if right.get(c, 0) < k:
        right[c] = right.get(c, 0) + 1
        res += dfs(s, k, left, right, l, r+1)
        right[c] -= 1
    return res

代码中，主函数 partition 统计字符的出现次数，判断是否存在无法划分的情况，初始化左右平衡子序列为空，并递归调用 dfs 函数。

dfs 函数维护左右平衡子序列中每个字符出现的次数，遍历字符串，根据添加字符的条件递归调用自身，并返回所有可行解的和。当左右平衡子序列的长度和达到 n 时，dfs 函数结束。