Sheppard 的片刻修正 |机器学习

先决条件：原始和中心时刻

我们假设在分组数据中频率集中在类间隔的中间部分。这个假设在一般情况下不成立，并且引入了分组错误。这种影响可以在计算矩时通过使用类间隔宽度的信息来纠正。

Sheppard's Correction for grouping error只不过是对分组数据或连续数据的计算样本矩的调整。 WF Sheppard 教授证明，如果频率分布是连续的，并且频率在两个方向上都逐渐减小到零，则可以按如下方式校正分组错误：

让'c'是类间隔的宽度。然后，
原始时刻
$\mu {}'_1_(_c_o_r_r) = \mu {}'_1$
$\mu {}'_2_(_c_o_r_r) = \mu {}'_2 - c^{2}/12$
$\mu {}'_3_(_c_o_r_r) = \mu {}'_3 - \mu {}'_1 * c^{2}/4$
$\mu {}'_4_(_c_o_r_r) = \mu {}'_4 - \mu {}'_2 * c^{2}/2 + c^{4} * 7/240$

中心时刻
$\mu {}_2_(_c_o_r_r) = \mu {}_2 - c^{2}/12$
$\mu {}_3_(_c_o_r_r) = \mu {}_3$
$\mu {}_4_(_c_o_r_r) = \mu {}_4 - \mu {}_2 * c^{2}/2 + c^{4} * 7/240$

什么样的数据可以更正？

1. 这种矩量校正方法仅适用于连续变量，即连续数据。
2. 班级间隔的宽度应该相等。
3. 频率应该是对称的。频率应该在两个方向上逐渐减小为零。

考虑给定的标记分布。

Marks	Number of Students
0 – 10	1
10 – 20	6
20 – 30	11
30 – 40	17
40 – 50	21
50 – 60	16
60 – 70	13
70 – 80	7
80 – 90	5
90 – 100	2

对于上述分数的分布，矩值如下：

原始时刻 –
$\mu {}'_r = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f_i x_i^{r}$ , 是第 r 个原始时刻，其中$f_i$是频率计数和$x_i$是类的中间值。

因此，使用上述原始时刻的公式，我们得到以下时刻的值。
$\mu {}'_1 = 48.23$
$\mu {}'_2 = 2711.87$
$\mu {}'_3 = 169751.26$
$\mu {}'_4 = 11515978.53$

Sheppard 对 Raw Moments 的修正——

$\mu {}'_1_(_c_o_r_r_) = \mu {}'_1 = 48.23$
$\mu {}'_2_(_c_o_r_r_) = 2703.53$
$\mu {}'_3_(_c_o_r_r_) = 168545.51$
$\mu {}'_4_(_c_o_r_r_) = 11380676.70$

类似地，可以使用Sheppard's Correction校正中心矩。