Moser-de Bruijn 数列

Moser-de Bruijn 数列，也称为‘皮克定理数列’，是一个递归序列，其前几项为：

0, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, ...

定义

该数列的递归定义为，对于任意大于等于0的正整数n，有：

a(n) =
\begin{cases}
0 & \text{当} n = 0 \\
1 & \text{当} n = 1 \\
a(n - a(a(n - 1))) + 1 & \text{当} n > 1
\end{cases}

例如，当n=2时，我们有：

$$a(2) = a(2 - a(a(1))) + 1 = a(2 - a(1)) + 1 = a(1) + 1 = 2$$

其它项也可以通过重复应用该递归定义方程得到。

该数列起源于数学家Moser和de Bruijn的研究工作，其中Moser证明了一个定理，使该数列作为对应的构造方法变得有效。

代码实现

以下是Moser-de Bruijn 数列的Python实现，注意到，由于函数是递归的，因此效率较低，仅供参考：

def moser_de_bruijn(n: int) -> int:
    a = [0, 1]
    for i in range(2, n+1):
        a_i = a[i - a[a[i-1]]] + 1
        a.append(a_i)
    return a[n]

该函数使用了一个列表a来存储数列，从而避免了子问题的不必要的重复计算。

应用

Moser-de Bruijn 数列在组合数学中有着重要的应用，具体地，该数列给出了一个方法来构造最小的‘超平面’颜色划分问题。该问题涉及将平面分成一些区域，使得相邻区域的颜色不同。对于n个点的平面，最小分割数量可以通过a(n)来得到。

总结

Moser-de Bruijn 数列是一个有趣的递归序列，其广泛应用于组合数学。在实践中，如果遇到了类似的问题，我们可以考虑该数列来解决。此外，尽管递归算法的效率较低，但列表存储大幅提高了效率，也是值得学习的技巧。