将数组划分为 K 个等和子数组的方法数

在这篇文章中，我们将讨论如何将一个数组划分为 K 个等和的子数组，并计算出划分的方法数。这个问题与划分整数的问题很相似，但它更具挑战性。我们将探讨两种不同的方法来解决这个问题。

方法一：动态规划

我们可以用动态规划（DP）来解决这个问题。假设我们有一个数字数组 nums 和一个整数 K，我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将 nums 的前 i 个数字划分为 j 个等和的子数组的方法数。因此，我们最终需要计算的值为 dp[nums.length][K]。

要计算 dp[i][j]，我们可以考虑将 nums[i] 与前面的数字组成一个子数组，或者将其添加到已有的子数组中。如果我们选择将 nums[i] 与前面的数字组成一个子数组，那么这个子数组中应该包括所有 nums[k]（0 ≤ k < i），这些数字的和应该是 P = sum(nums) / j，也就是所需的等和子数组之和。

因此，如果我们将 nums[i] 添加到已有的子数组中，那么存在一段区间 [k+1, i]，这个区间中的数字的总和为 P - nums[i]。因此，可以将 dp[i][j] 表示为以下两个公式之一：

dp[i][j] = dp[k][j-1] + 1 {if sum(nums[k+1:i]) == P} 
dp[i][j] = dp[k][j] {if sum(nums[k+1:i]) + nums[i] <= P}

最终值为所有满足条件的 dp[nums.length][K] 之和。可以通过填充 dp 数组并使用上述公式来实现这种解决方案。

以下是一个时间复杂度为 O(N^3*K) 的动态规划实现的代码片段：

public int numberOfArrays(int[] nums, int k) {
    int n = nums.length;
    int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
    int mod = 1000000007;
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= k; j++) {
            long sum = 0;
            for (int m = i - 1; m >= 0; m--) {
                if (sum > Integer.MAX_VALUE - dp[m][j - 1]) {
                    break;
                }
                sum += nums[m];
                if (sum > (long)j * (j + 1) / 2) {
                    break;
                }
                if (sum <= j) {
                    dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[m][j - 1]) % mod;
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= k; i++) {
        ans = (ans + dp[n][i]) % mod;
    }
    return ans;
}

方法二：二分查找

除了使用 DP 解决这个问题之外，我们还可以考虑使用二分查找。首先，我们可以计算出数组 nums 的总和，称为 P。我们可以观察到，我们可以将 nums 分成 K 个等和的子数组的最大长度为 P/K。

因此，我们可以设定一个左边界 L 和一个右边界 R，其初始值分别为 1 和 P/K。然后，我们可以考虑使用二分查找来计算可能的总长度 L。对于给定的长度 L，我们可以检查 nums 是否可以分成 K 个等和的子数组。如果可以，那么我们应该将右边界 R 向左移，以尝试缩小长度 L。如果不能，那么我们应该将左边界 L 向右移，以尝试增加长度 L。

可以使用以下代码片段来实现这种解决方案：

public int numberOfArrays(int[] nums, int k) {
    long mod = 1000000007;
    long sum = 0;
    for (int num : nums) {
        sum += num;
    }
    if (sum % k != 0) {
        return 0;
    }
    long target = sum / k;
    long left = 1, right = sum / k;
    int cnt = 0;
    while (left <= right) {
        cnt++;
        long mid = (left + right) / 2;
        if (check(nums, k, target, mid)) {
            right = mid - 1;
        } else {
            left = mid + 1;
        }
    }
    return check(nums, k, target, left) ? (int)left % (int)mod : 0;
}
private boolean check(int[] nums, int k, long target, long len) {
    long sum = 0;
    int cnt = 0;
    for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
        if (i > 0 && cnt > 0 && sum + nums[i] > len) {
            cnt--;
            sum = nums[i];
        } else {
            sum += nums[i];
        }
        if (sum > len) {
            return false;
        }
        if (sum == len) {
            cnt++;
            sum = 0;
        }
    }
    return cnt >= k;
}

结论

在这篇文章中，我们讨论了两种不同的方法来计算将数组划分为 K 个等和的子数组的方法数。动态规划是一种更快的实现方法，但时间复杂度较高。二分查找是解决这种问题的另一种方法，它的时间复杂度较低，但需要更多的编程技巧。无论哪种方法，对于理解动态规划和二分查找都是非常有帮助的。