将数组划分为 K 个段，使得单个段总和的按位 AND 最大化

问题描述

给定一个长度为 n、元素值全为非负整数的数组 nums，将其划分为 k 个连续的段，使得每个段的元素和的按位 AND 值最大化，返回最大的按位 AND 值。

解决思路

考虑使用二分答案的方法，二分按位 AND 的值 mid，判断数组能否划分为 k 个连续的子段，使得每个子段的和的按位 AND 的值都大于等于 mid。

对于每个元素 nums[i]，如果 nums[i] >= mid，那么将 nums[i] 当作一段的起点，否则 nums[i] 属于前面的一段，继续累加。遍历完数组后，如果数组被划分为的段数不小于 k，说明 mid 合法，缩小二分区间；否则，mid 不合法，扩大二分区间。

复杂度分析

算法时间复杂度为 $O(n\log{W})$，其中 $W$ 表示数组元素的最大值。具体时间复杂度分析如下：

1. 二分答案的时间复杂度为 $O(\log W)$。
2. 在每次判断 mid 是否有效时，需要遍历整个数组，时间复杂度为 $O(n)$。
3. 对于一个 mid，如果存在一种划分方案，那么最多有 $n$ 种划分方法（起点可以是每个元素），时间复杂度为 $O(n)$。

综上所述，算法时间复杂度为 $O(n\log{W})$，空间复杂度为 $O(1)$。

代码实现

def splitArray(nums: List[int], k: int) -> int:
    def check(mid: int) -> bool:
        cnt = 1
        cur_sum = 0
        for num in nums:
            if cur_sum + num >= mid:
                cur_sum = num
                cnt += 1
                if cnt > k:
                    return False
            else:
                cur_sum += num
        return True

    left, right = 0, sum(nums)
    while left < right:
        mid = (left + right + 1) >> 1
        if check(mid):
            left = mid
        else:
            right = mid - 1
    return left

总结

本文介绍了如何将一个数组划分为 k 个连续的子段，使得每个子段元素和的按位 AND 值最大化。该问题可以使用二分答案的方法进行求解，时间复杂度为 $O(n\log{W})$，其中 $W$ 表示数组元素的最大值。