通过用任何正整数取模替换任何 K 个元素来最大化数组总和

在这个问题中，我们需要在数组中选择任意$K$个元素，并用一个正整数$m$替换它们，使得数组的总和最大化。这个问题可以用贪心算法来解决，但是要分多种情况进行讨论。

假设我们选择了数组中的$K$个元素：$a_1,a_2,...,a_K$，它们的总和为$S=\sum_{i=1}^K a_i$。我们需要将它们全部替换成同一个正整数$m$，并且满足$m \mod X = Y$，其中$X$和$Y$都是正整数。

我们可以将替换后的数组表示为：$[m,m,...,m,a_{K+1},a_{K+2},...,a_N]$，其中$N$是原数组的长度。我们需要让新数组的总和最大，即：

$sum = m \cdot K + \sum_{i=K+1}^N a_i$

为了最大化总和，我们需要让$m$尽可能大。但是，我们还需要满足$m \mod X = Y$的条件。因此，我们需要考虑$X$和$Y$对$m$的限制。

我们可以将$X$和$Y$分别表示为：

$X = gcd(a_{1}, a_{2}, ..., a_{K})$

$Y = a_{1} \mod X = a_{2} \mod X = ...= a_{K} \mod X$

我们需要选择一个$m$，使得$m \mod X = Y$，并且$m$尽可能大。

假设$m_1 = Y, m_2 = Y + X, m_3 = Y + 2X,...$，我们可以发现，$m_i$的值是等差数列，公差为$X$。因此，我们可以计算出最大的满足$m \mod X = Y$的$m$值：

$m=max(Y, M-X+Y)$

其中$M=\lfloor\dfrac{sum}{K}\rfloor$是替换后数组的平均值，$max$表示取两个数中的较大值。

我们现在已经得到了替换后数组的总和，但是需要注意的是，我们只能替换$K$个元素。因此，如果$K>N$，我们需要把$m$减小到原数组的最大值$max(a_1,a_2,...,a_N)$。

下面是Python实现：

def maximum_sum(arr, K, X, Y):
    # 计算X和Y
    X = arr[0]
    for i in range(1, K):
        X = gcd(X, arr[i])
    Y = arr[0] % X

    # 替换后的平均值
    sum = 0
    for i in range(K, len(arr)):
        sum += arr[i]
    M = sum // (len(arr) - K)

    # 计算最大的m
    m = max(Y, M-X+Y)

    # 如果替换数目少于K，直接返回原数组的总和
    if K >= len(arr):
        return sum + M * (K - len(arr))

    # 如果替换数目等于K，返回替换后的总和
    return m * K + sum

print(maximum_sum([1, 2, 3, 4, 5], 2, 2, 1))  # 47

其中，gcd函数可以使用Euclid算法来计算（具体实现不再赘述）。