通过最多替换一个元素来最大化数组的按位与

问题描述

给定一个长度为 $n$ 的非空整数数组 $nums$，用一个元素 $nums[i]$ 替换数组中的 at most 一个元素，使得数组的按位与最大。

我们定义 two indices $i$ and $j$ ( $i < j$ ) 为一对特殊索引序列当且仅当满足 $i$ 为奇数，$j$ 为偶数，$j - i = 1$，且 $nums[i] & nums[j] = 0$。

如果不存在这样的一对特殊索引序列，则返回原数组。否则，按位与最大的数组（可能出现多个解）将具有最大值。

解题思路

可以使用 brute-force 算法的思路来解决此问题，遍历所有可能的替换方案，计算每个方案下数组的按位与值，取其中的最大值即可。

具体操作如下：

1. 统计数组 $nums$ 中 0 的个数 $cnt$。

2. 若 $cnt = n$，则原数组就是最大的按位与数组，直接返回即可。

3. 若 $cnt = 0$，则所有数的按位与都不为 0，无法通过替换元素得到更大的按位与，直接返回原数组即可。

4. 若 $cnt > 0$，则至少存在两个数的按位与为 0。先找出一对特殊索引序列 $i,j$，满足 $i$ 为奇数，$j$ 为偶数，$j-i=1$，并且 $nums[i] & nums[j] = 0$。这里可以直接枚举所有的奇偶组合来寻找符合条件的索引对。

5. 找到索引对后，对于 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 分别遍历它们的二进制表示，若 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 的二进制位在同一位置为 1，则说明将它们替换为 $nums[i] & nums[j]$ 后可以得到更大的按位与。在遍历的过程中，若发现有超过 1 位的二进制位在同一位置为 1，则说明替换后的结果不能是按位与最大数组，直接返回原数组即可。

6. 若 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 都只有一位二进制位在同一位置为 1，则将它们替换为 $nums[i] & nums[j]$ 后可以得到按位与最大的数组。

7. 返回更新后的数组。

代码实现

class Solution:
    def getMaximumAndValue(self, nums: List[int]) -> List[int]:
        n = len(nums)
        cnt = nums.count(0)
        if cnt == n:  # all elements are 0
            return nums
        if cnt == 0:  # no element is 0
            return [2**31-1] * n
        
        # find a special index pair
        i, j = -1, -1
        for k in range(n):
            if nums[k] == 0:
                continue
            if k % 2 == 0:
                if j == -1:
                    j = k
            else:
                if i == -1:
                    i = k
            if i != -1 and j != -1:
                break
                
        # i and j are not found
        if i == -1 or j == -1:
            return nums
        
        # get the AND value of i and j
        and_value = nums[i] & nums[j]
        if and_value == 0:
            nums[i], nums[j] = and_value, and_value
            return nums
        
        # check if the AND value has more than 1 "1"s
        cnt = 0
        for k in range(31):
            if (and_value >> k) & 1 == 1:
                cnt += 1
                if cnt > 1:
                    return nums
        
        # replace i and j with the AND value
        for k in [i, j]:
            if nums[k] == and_value:
                continue
            nums[k] = and_value
            break
        
        return nums

代码中的 getMaximumAndValue(nums) 函数接受一个整数列表 nums，并返回按位与最大的数组。在函数中，我们首先统计数组 nums 中 0 的个数 cnt。

若 $cnt=n$，则原数组就是最大的按位与数组，直接返回即可。

若 $cnt=0$，则所有数的按位与都不为 0，无法通过替换元素得到更大的按位与，直接返回 $[2^{31}-1]$ 的长度为 $n$ 的数组即可。

若 $cnt>0$，则至少存在两个数的按位与为 0。我们接着找出一对特殊索引序列 $i,j$，并且这对索引满足上文中的条件。

找到索引对后，我们对于 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 分别遍历它们的二进制表示，若 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 的二进制位在同一位置为 1，则说明将它们替换为 $nums[i] & nums[j]$ 后可以得到更大的按位与。在遍历的过程中，若发现有超过 1 位的二进制位在同一位置为 1，则说明替换后的结果不能是按位与最大数组，直接返回原数组即可。

若 $nums[i]$ 和 $nums[j]$ 都只有一位二进制位在同一位置为 1，则将它们替换为 $nums[i] & nums[j]$ 后可以得到按位与最大的数组。最后，返回更新后的数组即可。

需要注意的是，Python 中的整数类型是没有固定长度的，但是我们可以通过将 Python 的整数表示为 32 位二进制序列的方式，将其作为长度为 32 的数组来处理，来方便地进行位运算。