查找信号到达字符串中所有位置所需的时间

在编程中，经常需要查找某个子字符串在一个较长的字符串中出现的所有位置，这就涉及到查找信号到达字符串中所有位置所需的时间问题。本文将介绍几种常用的查找算法以及它们的时间复杂度。

暴力算法

最简单、也是最直接的方法就是暴力算法。顾名思义，这种算法的实现非常简单，就是遍历整个字符串，对于每一个位置，都检查是否为目标字符串的首字母，如果是，则继续检查后续字符是否与目标字符串对应位置相同，如果一直匹配到最后，就说明匹配成功。

因为暴力算法的实现非常类似循环嵌套，所以其时间复杂度为O(m*n)，其中m和n分别是原字符串和目标字符串的长度。这种算法的优点是实现简单，但是因为时间复杂度较高，因此当字符串长度很大时，效率较低。

下面是暴力算法的python3实现：

def find_substring(s: str, p: str):
    result = []
    for i in range(len(s) - len(p) + 1):
        if s[i:i + len(p)] == p:
            result.append(i)
    return result

Rabin-Karp算法

Rabin-Karp算法是一种利用哈希函数进行字符串查找的算法。具体来说，计算目标字符串和原字符串各自的哈希值，然后比较它们是否相等。因为字符串相同，哈希值也必然相同，所以这种算法的实现主要考虑如何设计合适的哈希函数。

Rabin-Karp算法的时间复杂度为O(m+n)，其中m和n分别是原字符串和目标字符串的长度。当然，在具体实现中哈希函数也会有一些小技巧，比如使用滚动哈希，避免重复计算。

下面是Rabin-Karp算法的python3实现：

def find_substring(s: str, p: str):
    result = []
    if len(p) > len(s):
        return result
    base = 26
    # 计算目标字符串哈希值
    p_hash = sum(hash(c) * (base ** i) for i, c in enumerate(p))
    # 初始化原字符串哈希值
    s_hash = sum(hash(c) * (base ** i) for i, c in enumerate(s[:len(p)]))
    # 从原字符串头部开始滑动窗口，逐个计算哈希值
    for i in range(len(s) - len(p) + 1):
        if p_hash == s_hash:
            if s[i:i + len(p)] == p:
                result.append(i)
        if i < len(s) - len(p):
            s_hash = s_hash - (hash(s[i]) * (base ** (len(p) - 1))) \
                     * base + hash(s[i + len(p)])
    return result

Knuth-Morris-Pratt算法

Knuth-Morris-Pratt算法是一种利用动态编程思想的字符串查找算法。与暴力算法不同的是，KMP算法在匹配失败时并不是从头重新匹配，而是根据已经匹配的信息，跳过一些不可能匹配的字符，从而提高效率。

具体来说，KMP算法利用一个“跳转表”，存储目标字符串里最长前后缀相同的部分，并根据这个表来跳过不可能匹配的字符。跳转表的计算可以用动态规划的方式进行，时间复杂度为O(m)。

KMP算法的时间复杂度为O(m+n)，其中m和n分别是原字符串和目标字符串的长度。因为需要预先计算跳转表，所以KMP算法的空间复杂度也比暴力算法和Rabin-Karp算法都高一些。

下面是KMP算法的python3实现：

def find_substring(s: str, p: str):
    result = []
    # 计算跳转表
    table = [-1] * len(p)
    j = -1
    for i in range(1, len(p)):
        while j >= 0 and p[j + 1] != p[i]:
            j = table[j]
        if p[j + 1] == p[i]:
            j += 1
        table[i] = j
    # 进行匹配
    j = -1
    for i in range(len(s)):
        while j >= 0 and p[j + 1] != s[i]:
            j = table[j]
        if p[j + 1] == s[i]:
            j += 1
        if j == len(p) - 1:
            result.append(i - len(p) + 1)
            j = table[j]
    return result

总结

本文介绍了三种字符串查找算法，它们分别是暴力算法、Rabin-Karp算法和KMP算法。虽然这三种算法的实现方法不同，但它们都涉及到从头到尾遍历原字符串，并与目标字符串逐个比较。因此它们的时间复杂度都与原字符串和目标字符串的长度有关。具体实际情况下应该选择什么算法，取决于字符串的长度、目标字符串的数量以及运行环境等因素。