计算将数组分成三个连续部分的方法数，总和相等

问题描述

给定一个数组 arr，请你返回将这个数组分成三个连续部分并且总和相等的方法数。

可以假设数组 arr 的长度为 n，且满足 1 <= n <= 5 * 10^4。

解决方案

暴力枚举法

一种朴素的解法是，对于每个分割点，依次枚举左侧区间和、中间区间和和右侧区间和，判断它们是否相等。时间复杂度为 $O(n^3)$，无法通过本题。代码如下：

def ways_to_split(arr):
    n = len(arr)
    count = 0
    for i in range(1, n - 1):
        for j in range(i + 1, n):
            left_sum = sum(arr[:i])
            mid_sum = sum(arr[i:j])
            right_sum = sum(arr[j:])
            if left_sum == mid_sum == right_sum:
                count += 1
    return count

前缀和法

观察到暴力枚举法中有很多重复计算，如左侧区间和、中间区间和和右侧区间和都需要求和。可以用前缀和（或后缀和）优化这个步骤。具体来说，可以先计算 arr 的前缀和数组 prefix，然后对于每个分割点 i，在 prefix 中二分查找第一个大于等于 prefix[i] / 2 的位置 left 和第一个大于 prefix[i] / 2 的位置 right，其中 left 最小取值为 i + 1，而 right 最大取值为 n - 1。最后根据 left 和 right 的取值计算答案即可。时间复杂度为 $O(n \log n)$。代码如下：

def ways_to_split(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [0] + list(accumulate(arr))
    count = 0
    for i in range(1, n - 1):
        left = max(i + 1, bisect_left(prefix, prefix[i] / 2))
        right = min(n - 1, bisect_right(prefix, prefix[i] / 2))
        if left <= right and prefix[left - 1] == prefix[i] / 2 and prefix[right] - prefix[i] / 2 == prefix[n] - prefix[right]:
            count += 1
    return count

双指针法

最后，我们介绍一种时间复杂度为 $O(n)$ 的解法，即双指针法。可以定义两个指针 left 和 right，分别指向数组的左右两端，然后先移动 left，使得左侧区间的和小于等于右侧区间的和，再移动 right，使得右侧区间的和小于等于左侧区间的和。这样的话，中间区间的和就等于整个数组的和减去左侧区间的和和右侧区间的和。具体实现中，可以用前缀和数组 prefix 来快速计算区间和。计算左侧区间和和右侧区间和的复杂度为 $O(n)$，移动指针的复杂度为 $O(n)$，因此总时间复杂度为 $O(n)$。代码如下：

def ways_to_split(arr):
    n = len(arr)
    prefix = [0] + list(accumulate(arr))
    count = 0
    left, right = 1, n - 1
    while left < n - 1 and right > left:
        left_sum = prefix[left] - prefix[0]
        right_sum = prefix[n] - prefix[right]
        if left_sum <= right_sum:
            left += 1
        if right_sum <= left_sum:
            right -= 1
        mid_sum = prefix[right] - prefix[left]
        if left_sum == mid_sum == right_sum:
            count += 1
    return count

总结

本题的三种解法分别是暴力枚举法（$O(n^3)$），前缀和法（$O(n \log n)$）和双指针法（$O(n)$）。要求部分和相等并且连续，通常可以考虑前缀和、双指针等技巧。在双指针法中，移动指针可以用两层循环的暴力方法来实现，但通常可以用单层循环的方法来替代，降低复杂度。