分割字符串成相等的回文部分

在解决字符串操作的问题中，将字符串分成相等的部分，以便所有部分都是回文是一种经典的问题。这个问题通常被用来优化搜索或者递归算法，同时也能够解决很多其他领域的问题。

解法

简单的贪心法

最简单也是最直接的想法，就是按照题意进行贪心法划分。即每次将字符串从最前面开始切下一段回文子串，然后对剩余的字符串进行递归。当剩余的字符串为空时，就可以得到一个有效的划分。

def palindrome_partition(s: str):
    def dfs(string):
        if not string:
            res.append(arr[:])
            return
        for i in range(1, len(string) + 1):
            if string[:i] == string[i - 1::-1]:
                arr.append(string[:i])
                dfs(string[i:])
                arr.pop()

    arr, res = [], []
    dfs(s)
    return res

代码中的 dfs() 函数实现了递归解法，将找到的回文子串保存在 arr 数组中，直到遍历完整个字符串，将 arr 添加到结果 res 数组中。

动态规划法

动态规划法是解决此问题的另一种经典方法。我们可以预先填充一个大小为 $n \times n$ 的二维数组 dp，其中 $dp[i][j]$ 存储从第 $i$ 个字符到第 $j$ 个字符是否为回文串。随后，我们可以使用标准的回溯技术来生成所有有效的划分。

def palindrome_partition(s: str):
    n = len(s)
    dp = [[False] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = True
        for j in range(i):
            dp[j][i] = (s[i] == s[j]) and (i - j <= 2 or dp[j + 1][i - 1])

    def dfs(start):
        if start == n:
            res.append(arr[:])
            return
        for i in range(start, n):
            if dp[start][i]:
                arr.append(s[start:i + 1])
                dfs(i + 1)
                arr.pop()

    arr, res = [], []
    dfs(0)
    return res

在填充 dp 数组时，首先预先填充了对角线上字符为回文子串。随后填充从左下到右上的区域，$dp[i+1][j-1]$ 为已经计算了的回文子串，可以直接使用。如果 s[i]==s[j]，那么只需要判断 $dp[i][j]$ 是否回文即可。

总结

总的来说，分割字符串成相等的回文部分是一个非常有意思且经典的问题。我们可以用贪心法或者动态规划法进行解决。无论哪种方法都需要一些递归技巧和子串判断方法。此外，也可以通过多种方式造一个缓存从而优化递归效率，例如使用动态规划法中递归时的记忆化方法。