简介

Mandelbrot是一个著名的分形图形，由法国数学家Benoit Mandelbrot于1975年发明。分形是一种自相似的结构，它具有类似于一部分也包含在整体中的性质。

Mandelbrot集合本身是由一个数学公式生成的，该公式可以用来生成无限数量的曲线和图形。

算法

Mandelbrot集合是通过对复平面上的每个点迭代计算得到的。

对于复数z，迭代公式为：z = z^2 + c，其中c是复平面上的某个点。

如果迭代次数超过了给定最大次数，或者z超过了半径为2的圆，则认为这个点是收敛的。

迭代次数越多，收敛的速度越快，最终生成的图形就会更详细。

下面是一个Python实现的Mandelbrot集合算法。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def mandelbrot(xmin, xmax, ymin, ymax, width, height, max_iter):
    r1 = np.linspace(xmin, xmax, width)
    r2 = np.linspace(ymin, ymax, height)
    X, Y = np.meshgrid(r1, r2)
    c = X + Y * 1j
    z = np.zeros_like(c)
    for i in range(max_iter):
        z = z**2 + c
        mask = np.abs(z) < 2
        c = c[mask]
        z = z[mask]
        if not len(z):
            break
    return i

xmin, xmax = -2, 1
ymin, ymax = -1.5, 1.5
width, height = 1000, 1000
max_iter = 200
mandelbrot_set = np.zeros((width, height))
for i in range(width):
    for j in range(height):
        mandelbrot_set[j, i] = mandelbrot(xmin, xmax, ymin, ymax, width, height, max_iter)
plt.imshow(mandelbrot_set.T, cmap='hot', interpolation='bilinear', extent=[xmin, xmax, ymin, ymax])
plt.axis('off')
plt.show()

结论

Mandelbrot集合是一个非常奇特的图形，它具有自相似性、分形性和无穷细节性。它的生成算法非常简单，但可以生成无限数量的图形。通过不同的参数设置，可以生成不同的Mandelbrot集合图形，每个图形都具有独特的美感和几何特征。Mandelbrot集合不仅在数学上有重要意义，在计算机图形学、分形分析和科学可视化等领域也有广泛应用。