在 Z*n 中求逆

在数学中，我们知道，对于一个正整数 n，Z*n 是关于模 n 的所有非零剩余类的集合。在这个集合中，我们可以进行加、减、乘、除等运算，但是同时也必须遵守模运算的规则。那么在这个集合中，如何求一个数的乘法逆元呢？本文就来介绍一下。

求解

根据欧几里得算法的扩展，我们可以求出对于 Z*n 中的一个数 a，它的乘法逆元 a^-1。具体步骤如下：

1. 求解 ax + ny = 1 中的 x 和 y。这可以使用扩展欧几里得算法来完成。其中，x 就是 a 在 Z*n 中的乘法逆元。
2. 如果 x 是负数，则需要将它加上 n，直到它变成正数。

经过这两个步骤，我们就可以求出 a 在 Z*n 中的乘法逆元。

代码实现

实现乘法逆元的算法，代码如下：

def multiplicative_inverse(a, n):
    """
    Find x such that a * x ≡ 1 (mod n).
    :param a: integer
    :param n: integer
    :return: integer or None if no inverse exists
    """
    # Apply the Extended Euclidean algorithm
    s_prev, s = 0, 1
    r_prev, r = n, a
    while r:
        q = r_prev // r
        r_prev, r = r, r_prev - q * r
        s_prev, s = s, s_prev - q * s
    # Ensure that r_prev = gcd(a, n) = 1
    if r_prev != 1:
        return None
    # Ensure that 0 <= s < n
    if s < 0:
        s += n
    return s

以上代码使用了扩展欧几里得算法求解 a 和 n 的最大公约数，并计算了一个逆元 x。如果最大公约数不是1，就说明这两个数不互质，无法求解乘法逆元。如果求出的逆元 x 是负数，就需要将其加上 n，直到它变成正数。

总结

本文介绍了在 Z*n 中求解乘法逆元的方法。通过扩展欧几里得算法，我们可以求出在 Z*n 中一个数的乘法逆元。如果求出的逆元是负数，就需要将其加上 n。