在3D平面中找到点的垂直脚

在3D平面中，经常需要求一个点到平面的垂直距离，也就是点到平面的垂直脚。下面将介绍几种方法来求解。

方法1：向量叉乘

假设平面的法向量为 $\vec{n}$，点到平面的距离为 $d$，点的坐标为 $(x,y,z)$。则点 $(x,y,z)$ 到平面的垂直脚的坐标为：

$$ (x_f,y_f,z_f)=(x,y,z)-\frac{\vec{n}\cdot(x,y,z)+d}{|\vec{n}|^2}\vec{n} $$

其中，$\cdot$ 表示向量点乘运算，$|\vec{n}|$ 表示向量的模长。

以下是 python 中实现该方法的代码片段：

import numpy as np

def vertical_foot(xyz, plane_normal, d):
    # xyz: (x, y, z), point coordinates
    # plane_normal: (a, b, c), plane normal vector
    # d: distance from plane to origin
    n = np.array(plane_normal)
    x, y, z = xyz
    f = xyz - np.dot(n, xyz) / np.dot(n, n) * n
    return tuple(f)

方法2：矩阵运算

假设平面的法向量为 $\vec{n}$，点到平面的距离为 $d$，点的坐标为 $(x,y,z)$。则点 $(x,y,z)$ 到平面的垂直脚的坐标为：

$$ (x_f,y_f,z_f)=(I-\vec{n}\vec{n}^T)\begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} + d\vec{n} $$

其中，$I$ 为单位矩阵，$\vec{n}\vec{n}^T$ 表示外积矩阵。

以下是 python 中实现该方法的代码片段：

import numpy as np

def vertical_foot(xyz, plane_normal, d):
    # xyz: (x, y, z), point coordinates
    # plane_normal: (a, b, c), plane normal vector
    # d: distance from plane to origin
    n = np.array(plane_normal).reshape(-1, 1)
    P = np.eye(3) - n.dot(n.T)
    f = P.dot(np.array(xyz).reshape(-1, 1)) + d * n
    return tuple(f.flatten())

总结

以上是两种求解点到平面垂直脚的方法，分别基于向量叉乘和矩阵运算。在实际应用中，可以根据具体情况选择合适的方法来求解。