用于将硬币排列成三角形时的最大高度

本文将介绍一个用于计算将硬币排列成三角形时的最大高度的算法。此算法采用动态规划的方法，时间复杂度为 $O(n^2)$。

问题描述

有 $n$ 枚硬币，按一列排列在地上。现在我们想将这些硬币排列成一个等边三角形，使得三角形的高度尽可能高。假设硬币的大小全部相同，硬币可以互相盖住，但是不可以重叠。

假设硬币的直径为 $d$，三角形的高度为 $h$，则硬币排列成三角形的条件为：

1. 三角形底边的长度为 $d\times n$；
2. 三角形的高度 $h$ 为 $\sqrt{3}/2 \times d \times n$，即三角形底边的 $\sqrt{3}/2$ 倍。同时，三角形的高度应当能够用整数表示。

求硬币排列成三角形时的最大高度 $h$。

动态规划算法

假设 $dp_{i,j}$ 表示左侧有 $i$ 列硬币，右侧有 $j$ 列硬币时，可以形成的最大高度。

可以得到如下递推式：

$$dp_{i,j}=\max_{k=1}^{j-1}\left {dp_{i-1,k}+\sqrt{3}/2\times d \times (j-k)\right}$$

其中 $1\leq i\leq n$，$1\leq j\leq n$。

最终答案为 $\max\limits_{i=1}^n dp_{i,n-i}$。

时间复杂度为 $O(n^2)$。

代码实现（C++）

int n, d;
int dp[110][110];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &d);

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            dp[i][j] = 0;
            for (int k = 1; k < j; k++) {
                dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - 1][k] + int(sqrt(3) / 2 * d * (j - k) + 0.5));
            }
        }
    }

    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        ans = max(ans, dp[i][n - i]);
    }

    printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

测试样例

以下是一组样例输入和输出：

|输入|输出| |---|---| |3 10|14|

其中输入表示有 3 列硬币，硬币的直径为 10，输出表示可以形成最高为 14 的等边三角形。