范围总和查询和平方根更新

本文将介绍范围总和查询和平方根更新的相关算法。

范围总和查询

范围总和查询是指给定一个包含n个元素的数组，查询其中某个范围内的所有元素的和。

算法介绍

最简单的方式是对给定的范围进行迭代，将范围内的所有元素累加求和。该算法的时间复杂度为O(n)。

更高效的算法是使用线段树（Segment Tree）。线段树是一种二叉树算法，可以查询给定范围内元素的总和。

代码片段

下面是使用线段树实现范围总和查询的基本代码：

class SegmentTree:
    def __init__(self, arr):
        n = len(arr)
        self.tree = [0] * (n * 4)
        self.build(arr, 0, n - 1, 0)

    def build(self, arr, left, right, node):
        if left == right:
            self.tree[node] = arr[left]
            return
        mid = (left + right) // 2
        self.build(arr, left, mid, node * 2 + 1)
        self.build(arr, mid + 1, right, node * 2 + 2)
        self.tree[node] = self.tree[node * 2 + 1] + self.tree[node * 2 + 2]

    def query(self, left, right, node, start, end):
        if left > end or right < start:
            return 0
        if left >= start and right <= end:
            return self.tree[node]
        mid = (left + right) // 2
        return self.query(left, mid, node * 2 + 1, start, end) + \
               self.query(mid + 1, right, node * 2 + 2, start, end)

平方根更新

平方根更新是指给定一个包含n个元素的数组，支持在O(sqrt(n))时间内将某个范围内所有元素的值设置为新值。

算法介绍

最简单的方式是对给定范围内的所有元素进行迭代，将元素一个个更新为新值。该算法的时间复杂度为O(n)。

更高效的算法是使用分块（Block）算法。分块算法将数组分为若干块，对于每一块维护一个懒惰标记和块内元素的值。当需要对某个范围的元素进行更新时，只需要更新相应的块内懒惰标记，而不必一一更新每个元素。

代码片段

下面是使用分块算法实现平方根更新的基本代码：

class Block:
    def __init__(self, nums):
        self.nums = nums
        n = len(nums)
        block_size = int(n ** 0.5) + 1
        self.blocks = [0] * (block_size + 1)
        self.lazy_tag = [0] * (block_size + 1)

        for i in range(n):
            block_id = i // block_size
            self.blocks[block_id] += nums[i]

    def update(self, left, right, val):
        n = len(self.nums)
        block_size = int(n ** 0.5) + 1
        left_block_id = left // block_size
        right_block_id = right // block_size

        if left_block_id == right_block_id:
            for i in range(left, right + 1):
                self.nums[i] = val
                self.blocks[left_block_id] += val - self.nums[i]

        else:
            for i in range(left, (left_block_id + 1) * block_size):
                self.nums[i] = val
                self.blocks[left_block_id] += val - self.nums[i]

            for block_id in range(left_block_id + 1, right_block_id):
                self.blocks[block_id] = val * block_size
                self.lazy_tag[block_id] = val

            for i in range(right_block_id * block_size, right + 1):
                self.nums[i] = val
                self.blocks[right_block_id] += val - self.nums[i]
                
    def __getitem__(self, index):
        return self.nums[index]
        
    def __len__(self):
        return len(self.nums)

总结

本文介绍了范围总和查询和平方根更新两种算法。范围总和查询可以使用线段树进行实现。而平方根更新则可以使用分块算法达到O(sqrt(n))时间复杂度的更新效果。