最大长度子序列，相邻元素之间的差异为 0 或 1

最大长度子序列是指序列中最长的连续子序列，而相邻元素之间的差异为 0 或 1 条件，则意味着该子序列必须以 0 或 1 递增或递减。解决这个问题的一种方法是通过动态规划。

动态规划

动态规划是一种解决优化问题的算法，它通常用于在给定约束条件下求解最优解。动态规划常用于有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

子问题

最大长度子序列问题的子问题是在给定条件下求解最大长度子序列。例如，在给定序列 [1, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1] 的情况下，从位置 0 到位置 6 都是递增的，因此最大长度子序列的长度为 7。但是，我们需要找到所有的递增或递减子序列，然后通过比较它们的长度来找到最长的那一个。

状态转移方程

假设我们已经找到了所有长度为 i-1 的递增或递减子序列，现在我们需要找到所有长度为 i 的递增或递减子序列。我们从序列的第一个元素开始，将这个元素分别添加到最大长度为 i-1 的递增或递减子序列的末尾。如果末尾元素比将要添加的元素小，则可以将该元素添加到该递增序列的末尾，否则可以复制该递减序列并添加该元素。

状态转移方程如下：

if num > dp_increasing[-1]:
    dp_increasing.append(num)
elif num < dp_increasing[-1]:
    # copy and add to decreasing sequence
    dp_decreasing.append(dp_increasing.copy())
    dp_decreasing[-1].append(num)
else:
    # same as the last element
    dp_increasing.append(num)
    dp_decreasing.append(dp_increasing.copy())

实现

以下是通过 Python 实现最大长度子序列问题的代码片段：

def longest_increasing_decreasing_subsequence(nums: List[int]) -> int:
    dp_increasing = [nums[0]]
    dp_decreasing = [dp_increasing.copy()]

    for num in nums[1:]:
        if num > dp_increasing[-1]:
            dp_increasing.append(num)
        elif num < dp_increasing[-1]:
            # copy and add to decreasing sequence
            dp_decreasing.append(dp_increasing.copy())
            dp_decreasing[-1].append(num)
        else:
            # same as the last element
            dp_increasing.append(num)
            dp_decreasing.append(dp_increasing.copy())

    # compare lengths of subsequence
    return max(len(subseq) for subseq in dp_decreasing)

该函数接受一个整数列表，并返回一个整数，表示最长的递增或递减子序列的长度。

总结

最大长度子序列问题可以通过动态规划的方法解决。该问题要求递增或递减，且相邻元素之间的差异为 0 或 1。要解决该问题，我们需要找到所有的递增或递减子序列，然后通过比较它们的长度来找到最长的那一个。通过使用动态规划，我们可以避免在给定约束条件下求解最优解时出现问题。