数据结构 |哈希|问题 5

问题描述

给定一个字符串 s，找到其中最长的回文子序列，并返回该序列的长度。可以假设 s 的最大长度为 1000。

示例 1： 输入：

"bbbab"

输出：

4

一个可能的最长回文子序列为 "bbbb"。

示例 2： 输入：

"cbbd"

输出：

2

一个可能的最长回文子序列为 "bb"。

思路

本题可以使用动态规划解决。定义dp[i][j]表示从i到j的子串中最长回文子序列的长度。当i=j时，该子串只有一个字符，因此dp[i][j]=1。当i<j时，需要根据s[i]和s[j]的关系进行分类讨论：

• 当s[i]=s[j]时，当前字符可以作为最长回文子序列的一部分，因此有dp[i][j]=dp[i+1][j-1]+2。

• 当s[i]!=s[j]时，当前字符不可能同时出现在最长回文子序列的两端，因此需要取当前子串中的最长回文子序列，即dp[i][j]=max(dp[i+1][j], dp[i][j-1])。

最终，所求为dp[0][n-1]，其中n为字符串s的长度。

代码实现

def longestPalindromeSubseq(s: str) -> int:
    n = len(s)
    dp = [[0] * n for _ in range(n)]
    for i in range(n):
        dp[i][i] = 1
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        for j in range(i + 1, n):
            if s[i] == s[j]:
                dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2
            else:
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i][j - 1])
    return dp[0][n - 1]

复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中n为字符串s的长度。动态规划需要填写二维数组dp中的所有元素，时间复杂度为O(n^2)。

空间复杂度：O(n^2)，其中n为字符串s的长度。需要开辟二维数组dp来存储中间状态，空间复杂度为O(n^2)。