指数平方(快速模乘法)介绍

指数平方，也称为快速模乘法，是运用了二进制的思想，将指数以二进制拆分成“1”和“0”的组合，通过不断平方、取模和乘法，来实现快速求解幂的运算，提高程序的效率。下面将展示一段Python代码来实现该算法。

代码片段

def fast_exp(base, exponent, mod):
    """
    使用快速模乘法实现指数运算，即(base^exponent)%mod
    :param base: 底数
    :param exponent: 指数
    :param mod: 模数
    :return: 结果
    """
    result = 1
    while exponent != 0:
        if exponent & 1 == 1:
            result = (result * base) % mod
        base = (base * base) % mod
        exponent >>= 1
    return result

代码说明

上述代码中的fast_exp函数，接收三个参数 base，exponent和mod，分别代表底数，指数和模数。该函数的返回值是 (base^exponent)%mod。

该方法的核心思想是将指数转化为二进制形式，例如 $7$ 可以表示为 $111_2$，则

$base^7=base^{2^0+2^1+2^2}=base^{2^0}\times base^{2^1}\times base^{2^2}$

在计算过程中，需维护一个中间结果变量 result，其初值为 $1$。每次进入循环，检查指数的二进制形式的最后一位是否为1，如果为1，则将当前的 base 与 result 相乘并对 mod 取模，将结果保存在 result 变量中。然后，将 base 乘以自身对 mod 取模，将结果保存在 base 变量中，指数 exponent 右移一位（即将二进制数向右移动一位），以便下一步检查指数二进制数的下一位。在这样的过程中，将指数不断的缩小，指数最终变成0时，所保存的结果即为fast_exp 返回的结果。

示例

下面是一个演示的例子，求 $3^{2019}\mod6$。

将指数2019的二进制表示为：$11111100011$。

执行过程如下：

• $result = 1, base = 3, exponent = 2019$;
• $exponent$ 是奇数，$result = 1\times 3\mod6 = 3$，$base=3\times3\mod6 = 3$，$exponent = 1001111000$;
• $exponent$ 是偶数，$result = 3$，$base=3\times3\mod6=3\times3\mod6=3$，$exponent = 100111100$;
• $exponent$ 是偶数，$result = 3$，$base=3\times3\mod6=3\times3\mod6=3$，$exponent = 10011110$;
• $exponent$ 是偶数，$result = 3$，$base=3\times3\mod6=3\times3\mod6=3$，$exponent = 1001111$;
• $exponent$ 是奇数，$result = 3\times3\mod6 = 3$，$base=3\times3\mod6=3\times3\mod6=3$，$exponent = 100111$；
• ......
• $exponent = 0$，算法结束，结果为 $3$。

经过计算，可得到 $3^{2019}\mod6 =3$。

总结

通过将指数转化为二进制数的形式，并通过平方和取模的方式来计算数值，快速模乘法提供了一种高效求解幂的算法。对于大数计算，该算法能够明显地提升程序效率，值得应用到实际项目中。