最大子数组求和模m

在计算机科学领域，最大子数组（Maximum Subarray）问题是指在一个数组中找到一个子数组，其元素之和最大。该问题可以用于解决很多其他问题，例如在时间序列分析中找到最大的笑脸和最大的翻滚，以及在图像处理中找到最大的物体。

在有些情况下，问题需要计算最大子数组的和模m的值，其中m是一个正整数。例如，在一些密码学应用程序中，需要计算最大子数组和模素数p的值。在这种情况下，这个问题被称为“乘法最大化子数组问题”。

算法

暴力枚举

一个简单的解决方案是枚举每个不同的子数组，并计算它们的和。对于每个子数组，如果和模m大于目前为止找到的最大和模m，就更新最大值。时间复杂度为O(N^2)。

def maximum_subarray_sum_modulo_m(nums, m):
    max_sum = 0
    for i in range(len(nums)):
        for j in range(i, len(nums)):
            current_sum = sum(nums[i:j+1]) % m
            if current_sum > max_sum:
                max_sum = current_sum
    return max_sum

前缀和+二分查找

上述暴力枚举的算法，用了两层循环，时间复杂度为O(N^2)，当然不是最优的解法。

一种更有效的算法是通过计算每个前缀和的差异来确定最大子数组的和。对于所有的前缀和，我们在一个数组中存储它们，在另一个数组中存储每个前缀和的最小索引值。然后，我们可以将一个前缀和减去下一个前缀和，以得到两个位置之间的子数组之和。通过比较当前差异与数组的最大值和最小值，我们就可以找到该差异对应的最大子数组之和。

from bisect import bisect_left

def maximum_subarray_sum_modulo_m(nums, m):
    prefix_sum = [0]
    for num in nums:
        prefix_sum.append((prefix_sum[-1] + num) % m)
    sorted_prefix_sum = sorted(prefix_sum)
    max_sum = 0
    for i in range(1, len(prefix_sum)):
        current_sum = prefix_sum[i] - sorted_prefix_sum[bisect_left(sorted_prefix_sum, prefix_sum[i])]
        if current_sum > max_sum:
            max_sum = current_sum
    return max_sum

这个算法的时间复杂度为O(NlogN)，因为它使用了排序和二分查找算法。

总结

最大子数组求和模m是一个常见的问题。两个常见的解决方案是暴力枚举和前缀和加二分查找。前缀和加二分查找算法的时间复杂度为O(NlogN)。