使用模 3 下的增量均衡数组

简介

模 3 下的增量均衡数组是一种数据结构，支持在 $\mathcal{O}(1)$ 时间复杂度下进行以下操作：

1. 在数组的末尾添加元素
2. 在数组的头部添加元素
3. 查询整个数组的和

该数据结构与传统的数组不同之处在于，它将所有元素按照模 3 的余数分为 3 类，且每类元素个数相等，数组的长度保持为 3 的倍数。这样可以保证数组中每个位置所属的类别只会随着加入的元素按照顺序依次轮换，且每类元素的和可以用余数为 0、1、2 的位置上元素的和相加得到。

该数据结构可以使用一个长度为 3 的数组 $a$ 模拟，$a[0]$ 表示余数为 0 的位置上元素的和，$a[1]$ 表示余数为 1 的位置上元素的和，$a[2]$ 表示余数为 2 的位置上元素的和。

接口

class BalanceArray {
public:
    int sum;   // 整个数组的和
    int a[3];  // 余数为 0、1、2 的位置上元素的和

    BalanceArray();
    void addFirst(int x);   // 在头部添加元素 x
    void addLast(int x);    // 在末尾添加元素 x
};

实现

实现时需要注意，余数为 0、1、2 的位置上元素的和每次添加元素时都需要进行更新。对于每个添加的元素，将其所属的余数位置上的和加上该元素的值即可。同时，整个数组的和也需要进行更新。

BalanceArray::BalanceArray() : sum(0) {
    a[0] = a[1] = a[2] = 0;
}

void BalanceArray::addLast(int x) {
    a[x % 3] += x;
    sum += x;
}

void BalanceArray::addFirst(int x) {
    a[(3 - x % 3) % 3] += x;
    sum += x;
}

示例

#include <iostream>
using namespace std;

int main() {
    BalanceArray arr;

    arr.addFirst(7);
    arr.addLast(2);
    arr.addLast(1);
    arr.addFirst(4);
    arr.addLast(5);

    cout << "sum = " << arr.sum << endl;
    cout << "a[0] = " << arr.a[0] << "，a[1] = " << arr.a[1] << "，a[2] = " << arr.a[2] << endl;

    return 0;
}

输出：

sum = 19
a[0] = 12，a[1] = 7，a[2] = 0