均衡问题 Codeforces - C++

均衡问题（Balanced Substring）是一道算法题，让我们寻找长度为n的字符串中，存在一个长度至少为2的连续子串，使得其中0和1的个数相等。

解题思路

第一步：暴力枚举

最暴力的思路就是枚举所有的子串，然后再判断每个子串中0和1的数量是否相等。

时间复杂度为O(n^3)，显然无法通过本题。

第二步：优化枚举

我们可以利用前缀和的思想，用一个数组p[]记录前i个字符中0的个数和1的个数的差值（p[i] = count0[i] - count1[i]）。

那么对于任意一个子串[l, r]，如果0和1的个数相等，那么p[l-1] == p[r]。

因此，我们可以枚举所有子串的左端点l，然后枚举所有右端点r，判断p[l-1]是否等于p[r]。

这样的时间复杂度为O(n^2)，显然也过不了本题。

第三步：寻找规律

通过上述的分析，我们发现我们需要快速地求解p数组。

对于任意的p[i]，我们可以转化一下：p[i] 表示前i个字符中0的个数和1的个数的差值。

设前j个字符中0的个数和1的个数的差值也为k，那么前i个字符中0的个数和1的个数的差值就可以表示为p[i] = p[j] + (count0[i] - count0[j]) - (count1[i] - count1[j])。

也就是说，我们可以先统计出每个i所对应的count0[i]和count1[i]的值，然后枚举j，算出p[j]，利用上述公式计算出p[i]，可以将时间复杂度降到O(n^2)。

第四步：使用哈希表优化

我们发现，在上述的算法中，我们需要快速地查询某个j的p[j]的值，这个时候可以使用哈希表优化。

对于每个p[i]，用unordered_map<int, int> mp来记录其对应的下标j，这样在枚举r的时候，我们只需要查询mp[p[r]]是否存在即可，如果存在，那么说明存在一个左端点l，使得[l, r]这个子串中0和1的数量相等。

使用哈希表优化后，时间复杂度降至O(n)。

代码实现

#include <iostream>
#include <unordered_map>

using namespace std;

int main() {
    int n;
    string s;
    cin >> n >> s;

    unordered_map<int, int> mp{{0, -1}}; // 可以理解为p[-1]=0
    int ans = 0, cnt = 0; // cnt表示0的个数和1的个数的差值
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        cnt += (s[i] == '0' ? 1 : -1);
        if (mp.count(cnt)) { // 如果存在对应的下标j
            ans = max(ans, i - mp[cnt]);
        } else {
            mp[cnt] = i; // 用哈希表记录下标
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

总结

本题需要掌握前缀和、暴力枚举、哈希表等知识点，同时也需要识别问题中的数据特征，并且能够根据特征寻找优化解法。

同时，本题也是一道非常经典的算法题，可以在 ACM/ICPC 的比赛中出现。