数组中三元组对之间绝对差的最小总和

简介

给定一个长度为 n 的数组 nums，我们需要找到一种方法，将其中的三元组对两两配对，使得每对三元组之间的数值差的绝对值最小，并返回这个最小绝对差的总和。

解法

对于三元组 (a, b, c) 和 (x, y, z)，它们之间的绝对差可以表示为：

abs(a-x) + abs(b-y) + abs(c-z)

由于绝对值的性质，对于每个三元组中的每个数，我们可以将其划分到两个集合中，分别是其在第一个三元组中所对应的集合和在第二个三元组中所对应的集合。

我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示将前 i 个三元组分别划分到第一个集合和第二个集合中，且第 j 个三元组在第二个集合中的绝对差最小值。

按照上述定义，我们有如下的状态转移方程：

dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + abs(nums[i-1][j] - nums[i-2][k]))

其中，nums 表示数组 nums 中的所有三元组，abs 表示绝对值函数，min 表示最小值函数。这意味着，对于第 i 个三元组中的每个数 nums[i-1][j]，可以从前一个三元组 nums[i-2][k] 转移而来，并计算相应的绝对差。

具体来说，如果我们将前 i-1 个三元组划分至两个集合中，使得第 k 个三元组在第二个集合中，那么将第 i 个三元组划分至两个集合中，我们需要根据第 i 个三元组中的每个数 nums[i-1][j]，选择和它绝对差最小的数 nums[i-2][k]，从而得到最小的绝对差 dp[i][j]。

最终的答案即为 dp[n][j] 中的最小值。

代码示例

def min_diff_triplet_sum(nums):
    n = len(nums[0])
    dp = [[float('inf')] * n for _ in range(len(nums) + 1)]
    dp[0] = [0] * n
    for i in range(1, len(nums) + 1):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i-1][k] + abs(nums[i-1][j] - nums[i-2][k]))
    return min(dp[-1])

总结

本题的时间复杂度为 $O(N^3)$，其中 $N$ 为数组中的三元组数量。如果我们使用优化的动态规划算法，可以将时间复杂度优化至 $O(N^2)$。